delta w wielomianie 3 stopnia
-
- Użytkownik
- Posty: 1631
- Rejestracja: 30 wrz 2010, o 13:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Witaszyce
- Podziękował: 288 razy
- Pomógł: 72 razy
delta w wielomianie 3 stopnia
\(\displaystyle{ f(x)=ax ^{3}+bx ^{2}+cx+d}\) gdzie \(\displaystyle{ a \neq 0}\) Czy to prawda \(\displaystyle{ \Delta=b ^{2}-3ac, x _{1}= \frac{-b- \sqrt{ \Delta} }{3a} , x _{2}= \frac{-b+ \sqrt{ \Delta} }{3a}}\) ? Można tego używać do znalezienia pierwiastków ?
-
- Użytkownik
- Posty: 923
- Rejestracja: 23 sie 2009, o 18:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: .....
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 171 razy
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
delta w wielomianie 3 stopnia
Wzorkami które podałeś obliczasz miejsca zerowe pochodnej
Jeżeli chcesz zbadać monotoniczność i ekstrema to używasz tych wzorków
Juz mu napisalem co musi znac aby zabrac sie za wzory na pierwiastki wielomianu trzeciego stopnia
Bez zespolonych nie powiaze pierwiastkow z fukcjami trygonometrycznymi w casus irreducibilis
Uzywasz podstawien
\(\displaystyle{ x=y- \frac{b}{3a}}\)
oraz
\(\displaystyle{ y=u+v}\)
a nastepnie przeksztalcasz otrzymane rownanie w uklad równań
przypominający wzory Viete dla równania kwadratowego
Jeżeli chodzi o wyróżnik to
\(\displaystyle{ \Delta=- \left( x_{1}-x_{2}\right)^2\left( x_{1}-x_{3}\right)^2\left( x_{2}-x_{3}\right)^{2}}\)
Jest on funkcją symetryczną pierwiastków równania więc może być wyrażony za pomocą
funkcji symetrycznych podstawowych a co za tym idzie za pomocą współczynników wielomianu
(po wyrażeniu za pomocą funkcji symetrycznych podstawowych wystarczy skorzystać ze wzorów Viete)
Jeżeli chcesz zbadać monotoniczność i ekstrema to używasz tych wzorków
Juz mu napisalem co musi znac aby zabrac sie za wzory na pierwiastki wielomianu trzeciego stopnia
Bez zespolonych nie powiaze pierwiastkow z fukcjami trygonometrycznymi w casus irreducibilis
Uzywasz podstawien
\(\displaystyle{ x=y- \frac{b}{3a}}\)
oraz
\(\displaystyle{ y=u+v}\)
a nastepnie przeksztalcasz otrzymane rownanie w uklad równań
przypominający wzory Viete dla równania kwadratowego
Jeżeli chodzi o wyróżnik to
\(\displaystyle{ \Delta=- \left( x_{1}-x_{2}\right)^2\left( x_{1}-x_{3}\right)^2\left( x_{2}-x_{3}\right)^{2}}\)
Jest on funkcją symetryczną pierwiastków równania więc może być wyrażony za pomocą
funkcji symetrycznych podstawowych a co za tym idzie za pomocą współczynników wielomianu
(po wyrażeniu za pomocą funkcji symetrycznych podstawowych wystarczy skorzystać ze wzorów Viete)
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
delta w wielomianie 3 stopnia
Miejsce zerowe pochodnej - warunek konieczny
Zmiana znaku pochodnej w otoczeniu miejsca zerowego - warunek wystarczający
- 0 + minimum
+ 0 - maximum
Zmiana znaku pochodnej w otoczeniu miejsca zerowego - warunek wystarczający
- 0 + minimum
+ 0 - maximum
-
- Użytkownik
- Posty: 1631
- Rejestracja: 30 wrz 2010, o 13:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Witaszyce
- Podziękował: 288 razy
- Pomógł: 72 razy
delta w wielomianie 3 stopnia
\(\displaystyle{ f(x)=x ^{3}-6x ^{2}+9x+1}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=3x ^{2}-12x+9=3(x-1)(x-3)}\)
Czyli minium to -3 a maksimum 1 ?
\(\displaystyle{ f'(x)=3x ^{2}-12x+9=3(x-1)(x-3)}\)
Czyli minium to -3 a maksimum 1 ?
Ostatnio zmieniony 17 sty 2012, o 15:03 przez major37, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 23495
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
delta w wielomianie 3 stopnia
(*) \(\displaystyle{ =3(x-1)(x-3)}\)major37 pisze:\(\displaystyle{ f(x)=x ^{3}-6x ^{2}+9x+1}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=3x ^{2}-12x+9=(x-1)(x-3)}\) (*)
Czyli minium to -3 a maksimum 1 ?(**)
(**) Minimum jest dla \(\displaystyle{ x=3}\), a maksimum dla \(\displaystyle{ x=1}\) - po sprawdzeniu (co w zasadzie widać od razu) jak zmienia się znak pochodnej (3 i 1 to nie jest ani minimum ani maksimum).