Jestem pewien swoich obliczeń na 90% ale wynik w książce mam inny dlatego wolę się upewnić czy w książce jest błąd a może u mnie Oblicz odwrotność sumy kwadratów pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=2x ^{3}+3x ^{2}-9x-10}\) Moje obliczenia. \(\displaystyle{ W(x)=(x+1)(x+ \frac{5}{2})(x-2)}\)
I mi wychodzi \(\displaystyle{ \frac{141}{100}}\) Natomiast w książce jest \(\displaystyle{ \frac{4}{45}}\) Jak wam wyszło ?
wielomian 3 stopnia i odwrotność pierwiastków
-
Pancernik
- Użytkownik
- Posty: 634
- Rejestracja: 3 mar 2009, o 14:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 143 razy
wielomian 3 stopnia i odwrotność pierwiastków
\(\displaystyle{ \frac{1}{\left( -1\right) ^2+\left( -\frac{5}{2} \right) ^2+2^2}}\)chris_f pisze:Tak jak w książce
\(\displaystyle{ \frac{1}{(-1)^2+(-\frac52)^2+(-2)^2}=..}\)
Trzecie miejsce zerowe to \(\displaystyle{ 2}\)
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
wielomian 3 stopnia i odwrotność pierwiastków
Suma odwrotności
\(\displaystyle{ \frac{1}{x_{1}^2}+ \frac{1}{x_{2}^{2}}+ \frac{1}{x_{3}^{2}}=\\
\frac{x_{1}^2x_{2}^2+x_{1}^2x_{3}^2+x_{2}^2x_{3}^2}{\left( x_{1}x_{2}x_{3}\right)^2 }}\)
\(\displaystyle{ \left( x_{1}x^{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}\right)^2=x_{1}^2x_{2}^2+x_{1}^2x_{3}^2+x_{2}^2x_{3}^2+2x_{1}^2x_{2}x_{3}+2x_{1}x_{2}^{2}x_{3}+2x_{1}x_{2}x_{3}^2\\
\left(x_{1}x^{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}\right)^2=x_{1}^2x_{2}^2+x_{1}^2x_{3}^2+x_{2}^2x_{3}^2+2\left( x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)x_{1}x_{2}x_{3}\\
\left(x_{1}x^{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}\right)^2-2\left( x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)x_{1}x_{2}x_{3}=x_{1}^2x_{2}^2+x_{1}^2x_{3}^2+x_{2}^2x_{3}^2\\}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x_{1}^2}+ \frac{1}{x_{2}^{2}}+ \frac{1}{x_{3}^{2}}=\frac{\left(x_{1}x^{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}\right)^2-2\left( x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)x_{1}x_{2}x_{3}}{\left( x_{1}x_{2}x_{3}\right)^2 }\\}\)
Ze wzorów Viete'a mamy
\(\displaystyle{ = \frac{a_{1}^2-2\left( -a_{2}\right)\left( -a_{0}\right) }{a_{0}^2} \\
= \frac{a_{1}^{2}-2a_{2}a_{0}}{a_{0}^2}}\)
Odwrotność sumy
\(\displaystyle{ \left( x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2\left( x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}\right)\\
\left( x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)^{2}-2\left( x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\\}\)
Ze wzorów Viete'a mamy
\(\displaystyle{ \frac{a_{2}^2-2a_{3}a_{1}}{a_{3}^{2}}\\
= \frac{a_{3}^2}{a_{2}^2-2a_{3}a_{1}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x_{1}^2}+ \frac{1}{x_{2}^{2}}+ \frac{1}{x_{3}^{2}}=\\
\frac{x_{1}^2x_{2}^2+x_{1}^2x_{3}^2+x_{2}^2x_{3}^2}{\left( x_{1}x_{2}x_{3}\right)^2 }}\)
\(\displaystyle{ \left( x_{1}x^{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}\right)^2=x_{1}^2x_{2}^2+x_{1}^2x_{3}^2+x_{2}^2x_{3}^2+2x_{1}^2x_{2}x_{3}+2x_{1}x_{2}^{2}x_{3}+2x_{1}x_{2}x_{3}^2\\
\left(x_{1}x^{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}\right)^2=x_{1}^2x_{2}^2+x_{1}^2x_{3}^2+x_{2}^2x_{3}^2+2\left( x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)x_{1}x_{2}x_{3}\\
\left(x_{1}x^{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}\right)^2-2\left( x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)x_{1}x_{2}x_{3}=x_{1}^2x_{2}^2+x_{1}^2x_{3}^2+x_{2}^2x_{3}^2\\}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x_{1}^2}+ \frac{1}{x_{2}^{2}}+ \frac{1}{x_{3}^{2}}=\frac{\left(x_{1}x^{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}\right)^2-2\left( x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)x_{1}x_{2}x_{3}}{\left( x_{1}x_{2}x_{3}\right)^2 }\\}\)
Ze wzorów Viete'a mamy
\(\displaystyle{ = \frac{a_{1}^2-2\left( -a_{2}\right)\left( -a_{0}\right) }{a_{0}^2} \\
= \frac{a_{1}^{2}-2a_{2}a_{0}}{a_{0}^2}}\)
Odwrotność sumy
\(\displaystyle{ \left( x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2\left( x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}\right)\\
\left( x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)^{2}-2\left( x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\\}\)
Ze wzorów Viete'a mamy
\(\displaystyle{ \frac{a_{2}^2-2a_{3}a_{1}}{a_{3}^{2}}\\
= \frac{a_{3}^2}{a_{2}^2-2a_{3}a_{1}}}\)