Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie \(\displaystyle{ x^{2010}+2010^{2009}=x^{2009}+2010^{2010}}\)
Rozwiązaniem jest tylko \(\displaystyle{ x=2010}\) ?
Równanie wielomianowe
-
- Użytkownik
- Posty: 121
- Rejestracja: 5 sty 2010, o 20:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: nie mam pojęcia:)
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 5 razy
Równanie wielomianowe
Ostatnio zmieniony 14 sty 2012, o 13:42 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale. Poprawa wiadomości.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale. Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Równanie wielomianowe
Zauważ, że \(\displaystyle{ x^{2009}(x-1)=2010^{2009}(2010-1)}\), więc na pewno \(\displaystyle{ 2010}\) jest rozwiązaniem.
Wykaż, że \(\displaystyle{ y=x^{2009}(x-1)}\) ma dokładnie jedno ekstremum. Wobec tego wartość \(\displaystyle{ 2010^{2009}(2010-1)}\) jest przyjęta dla dokładnie dwóch argumentów. Pozostaje sprawdzić, czy dla pewnego \(\displaystyle{ x\le 0}\) ta wartość jest przyjęta.
Wykaż, że \(\displaystyle{ y=x^{2009}(x-1)}\) ma dokładnie jedno ekstremum. Wobec tego wartość \(\displaystyle{ 2010^{2009}(2010-1)}\) jest przyjęta dla dokładnie dwóch argumentów. Pozostaje sprawdzić, czy dla pewnego \(\displaystyle{ x\le 0}\) ta wartość jest przyjęta.
-
- Użytkownik
- Posty: 121
- Rejestracja: 5 sty 2010, o 20:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: nie mam pojęcia:)
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 5 razy
Równanie wielomianowe
Dobrze rozumuję, że ekstremum znajduje się między miejscami zerowymi? Zatem jednakowo odległy od \(\displaystyle{ x=0,5}\) i \(\displaystyle{ 2010}\) jest \(\displaystyle{ -2009}\). Dla tego \(\displaystyle{ x}\) wyszło mi, że nie jest rozwiązaniem równania. Ta funkcja jest parzysta względem \(\displaystyle{ y=0,5}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Równanie wielomianowe
Argument, dla którego osiągana jest ekstremum, znajduje się między miejscami zerowymi, ale nie jest od nich jednakowo odległe - trzeba odpowiedni argument wyznaczyć korzystając z rachunku pochodnych.
-
- Użytkownik
- Posty: 121
- Rejestracja: 5 sty 2010, o 20:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: nie mam pojęcia:)
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 5 razy
Równanie wielomianowe
Dziękuję za rzeczową odpowiedź. Trzeba będzie zasmakować podstaw analizy najwidoczniej.