Równanie wielomianowe

[Paulpentax]

Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie \(\displaystyle{ x^{2010}+2010^{2009}=x^{2009}+2010^{2010}}\)

Rozwiązaniem jest tylko \(\displaystyle{ x=2010}\) ?

[lukasz1804]

Zauważ, że \(\displaystyle{ x^{2009}(x-1)=2010^{2009}(2010-1)}\), więc na pewno \(\displaystyle{ 2010}\) jest rozwiązaniem.

Wykaż, że \(\displaystyle{ y=x^{2009}(x-1)}\) ma dokładnie jedno ekstremum. Wobec tego wartość \(\displaystyle{ 2010^{2009}(2010-1)}\) jest przyjęta dla dokładnie dwóch argumentów. Pozostaje sprawdzić, czy dla pewnego \(\displaystyle{ x\le 0}\) ta wartość jest przyjęta.

[Paulpentax]

Dobrze rozumuję, że ekstremum znajduje się między miejscami zerowymi? Zatem jednakowo odległy od \(\displaystyle{ x=0,5}\) i \(\displaystyle{ 2010}\) jest \(\displaystyle{ -2009}\). Dla tego \(\displaystyle{ x}\) wyszło mi, że nie jest rozwiązaniem równania. Ta funkcja jest parzysta względem \(\displaystyle{ y=0,5}\)?

[lukasz1804]

Argument, dla którego osiągana jest ekstremum, znajduje się między miejscami zerowymi, ale nie jest od nich jednakowo odległe - trzeba odpowiedni argument wyznaczyć korzystając z rachunku pochodnych.

[Paulpentax]

Dziękuję za rzeczową odpowiedź. Trzeba będzie zasmakować podstaw analizy najwidoczniej.