Nierównosc wielomianowa z wartością bezwzględna

[Lipek]

Rozwiąż nierówności:
\(\displaystyle{ \left| x ^{3}-3x-2 \right| \le x ^{3} -3x-2}\)

Czyli rozważamy 2 przypadki:

dla 1.\(\displaystyle{ x ^{3}-3x-2 \ge 0 \vee}\) 2.\(\displaystyle{ x ^{3}-3x-2 <0}\)
Teraz musimy rozwiązac te nierówności bez wartości bezwzględnej.

dla 1. (\(\displaystyle{ x+1)(x ^{2}-x-2) \ge 0}\)

\(\displaystyle{ (x+1) ^{2}(x-2) \ge 0}\)

Trzy przedziały liczbowe:
Dla 1.
\(\displaystyle{ (- \infty ;-1)}\) nie zachodzi
\(\displaystyle{ <-1;2)}\) nie zachodzi
\(\displaystyle{ <2;+ \infty )}\) zachodzi

Dla 2.:
\(\displaystyle{ (- \infty ;-1)}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \(\displaystyle{ (-1;2)}\) zachodzi
\(\displaystyle{ (2;+ \infty)}\) nie zachodzi


dla 1: (po opuszczeniu modułów) \(\displaystyle{ x ^{3} -3x-2 \le x ^{3}-3x-2}\) , czyli po odjęciu obustronnym wychodzi \(\displaystyle{ 0 \le 0}\) , co zawsze jest prawdziwe, więc dla przypadku 1. \(\displaystyle{ x \in <2;+ \infty )}\) .

dla 2: \(\displaystyle{ -(x ^{3} -3x-2) \le x ^{3} -3x-2}\) po obustronym dodaniu wyrażenia \(\displaystyle{ (x ^{3} -3x-2)}\) wychodzi:

\(\displaystyle{ 2(x ^{3} -3x-2) \ge 0}\)

\(\displaystyle{ 2(x+1) ^{2} (x-2) \ge 0}\)

Rozwiązaniem tej nierówności jest przedział \(\displaystyle{ x \in <2;+ \infty ) \cup \left\{ -1\right\}}\)

Iloczy zbiorów \(\displaystyle{ \left[ <2;+ \infty ) \cup \left\{ -1\right\}\right] \cap (-1;2) = \emptyset}\)

Odpowiedź końcowa:

\(\displaystyle{ x \in <2;+ \infty )}\)

Według odpowiedzi podręcznikowej powinno byc :


Odp.: \(\displaystyle{ x \in <2;+ \infty ) \cup \left\{ -1\right\}}\)

Potrafi ktoś znaleźc błąd ?

Z góry dziękuję za pomoc ;]}\)

[kajus]

dla 2.:
od minus nieskończoności do 1 zachodzi
więc czemu później bierzesz iloczyn tylko ze zbiorem (-1,2)
powinno być iloczyn ze zbiorem (-nieskończoność,2) i wtedy się zgadza

[Pancernik]

(\(\displaystyle{ x+1)(x ^{2}-x-2) \ge 0}\)

Skąd się to wzięło?-- 12 sty 2012, o 15:08 --Ok. Nie było pytania.

[Lipek]

dla 2.:
od minus nieskończoności do 1 zachodzi
więc czemu później bierzesz iloczyn tylko ze zbiorem (-1,2)
powinno być iloczyn ze zbiorem (-nieskończoność,2) i wtedy się zgadza

Ale i tak:
\(\displaystyle{ \left[ (- \infty ;-1) \cup (-1,2) \right] \cap \left\{ -1\right\} = \emptyset}\)

Hmm

[kajus]

faktycznie ale widzę jeszcze jeden błąd:
dla 1.: masz napisane \(\displaystyle{ dla \ <-1;2) \ nie \ zachodzi}\) a tymczasem dla \(\displaystyle{ x=1}\) ta nierówność zachodzi (masz \(\displaystyle{ \ge 0}\)) i tutaj gubisz tą jedynkę