pierwiastki wielomianu 5 stopnia

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
xxmonikaxx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 108
Rejestracja: 10 sty 2012, o 13:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Krak
Podziękował: 40 razy

pierwiastki wielomianu 5 stopnia

Post autor: xxmonikaxx »

Hey mam problem z tym zadaniem :
Znaleźć wszystkie pierwiastki wielomianu : \(\displaystyle{ W(x)=2 x^{5} - x^{4} -10 x^{3} -(n+1) x^{2} +12nx+ n^{2}}\) o współczynnikach całkowitych wiedząc, że jednym z nich jest rozwiązanie równania \(\displaystyle{ x+ x^{3} + x^{5} +...= \frac{2}{3}}\).
kamil13151
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5018
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

pierwiastki wielomianu 5 stopnia

Post autor: kamil13151 »

\(\displaystyle{ x+ x^{3} + x^{5} +...= \frac{2}{3}}\)
Zauważ, że po lewej masz nieskończony ciąg geometryczny i można go "zwinąć" za pomocą specjalnego wzoru, wystarczy poszukać.
xxmonikaxx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 108
Rejestracja: 10 sty 2012, o 13:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Krak
Podziękował: 40 razy

pierwiastki wielomianu 5 stopnia

Post autor: xxmonikaxx »

chyba znalazłam wzór chodzi o ten :\(\displaystyle{ S= \frac{ a_{1} }{1-q}}\)tak ? i oczwiscie wyszło mi równanie kwadratowe z dwoma pierwiastakami 2 i \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\) i teraz już tylko muszę podstawić pod ten wielomian i wyliczyć n a pozostałe to już szybko pójdą ... tylko muszę rozważyć przypadki ze ten jeden pierwiastek jest równy 2 i drugi przypadek że minus jedna druga tak ??
kamil13151
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5018
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

pierwiastki wielomianu 5 stopnia

Post autor: kamil13151 »

Wzór dobry, tylko rozwiązanie błędne.

Po podstawieniu mamy:
\(\displaystyle{ \frac{x}{1-x^2} =\frac{2}{3}}\), oczywiście musi zachodzić: \(\displaystyle{ x^2<1}\) oraz \(\displaystyle{ x>0}\) (na lewej stronie same potęgi nieparzyste, a mamy sumę, więc ujemna liczba da nam wynik ujemny, a musi być dodatni).

Rozwiązaniem jest: \(\displaystyle{ x=-2 \vee x= \frac{1}{2}}\), pierwsze odrzucamy.

Teraz obliczasz \(\displaystyle{ n}\) z równania \(\displaystyle{ W\left( \frac{1}{2} \right) =0}\), dalej prosto.
xxmonikaxx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 108
Rejestracja: 10 sty 2012, o 13:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Krak
Podziękował: 40 razy

pierwiastki wielomianu 5 stopnia

Post autor: xxmonikaxx »

i tak robiłam jak ty napisałeś tylko mi się nie zgadzało bo mi delta z tego wielomianu 1/2 wychodziła brzydka a miały być współczynniki całkowite ... teraz spr. jeszcze raz i miałam błąd w liczeniu dzięki za pomoc

hm ... ale taeraz mi tam wyszło rownanie \(\displaystyle{ 0= n^{2} +5 \frac{3}{4} n- \frac{3}{2}}\)i tu mi wyszła delta 625 ale za to pierwiastki nie są liczbami całkowitymi więc współczynnik przed x do kwadratu też nie będzie całkowity a musi być ....
kamil13151
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5018
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

pierwiastki wielomianu 5 stopnia

Post autor: kamil13151 »

Dobre równanie kwadratowe, \(\displaystyle{ n^{2} + \frac{23}{4} n- \frac{3}{2}=0}\) i pierwiastki to \(\displaystyle{ n= \frac{1}{4} \vee n=-6}\), także jest rozwiązanie całkowite.
ODPOWIEDZ