równanie stopnia 3 i pierwiastki

[major37]

Dzieląc wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) przez dwumian \(\displaystyle{ x-1}\) otrzymujemy iloraz \(\displaystyle{ x ^{2}-x-4}\) i reszte 2. Oblicz sumę odwrotności kwadratów pierwiastków wielomianu W(x). Policzyłem pierwiastki tej funkcji kwadratowej i są niewymierne i mam małe zamieszanie. Są jakieś wzory albo niech mi ktoś pomoże je wyprowadzić na sumę odwrotności kwadratów. Dla funkcji kwadratowej mam wyprowadzone a dla równania stopnia trzeciego nie. Proszę o pomoc

[piasek101]

\(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(x^2-x-4)+2}\)

[major37]

No to mam ale co dalej. Pisałem że policzyłem pierwiastki funkcji kwadratowej i są niewymierne i mam zamieszanie.

[piasek101]

I niepotrzebnie je liczyłeś bo mają się nijak do pierwiastków \(\displaystyle{ W(x)}\).

Wykonaj matmę na jego prawej stronie i szukaj pierwiastków (bez Cardano).

[major37]

Dobra Dzięki

-- 10 sty 2012, o 16:07 --

Pospieszyłem się. Jak przekształcę to do postaci ogólnej to co mi to da ? Jak jednym z pierwiastków jest 1. Podzielę Hornerem i otrzymam to samo.

[piasek101]

Pospieszyłem się. Jak przekształcę to do postaci ogólnej to co mi to da ? Jak jednym z pierwiastków jest 1. Podzielę Hornerem i otrzymam to samo.

Jaki masz \(\displaystyle{ W(x)}\) po wykonaniu matmy (jak pisałem) ?
Pierwiastkiem tego wielomianu nie jest (1).

[major37]

\(\displaystyle{ x ^{3}-2x ^{2}-3x+6}\) liczba 2 jest jednym z pierwiastków. Sory ale myślałem, że da to samo. Zagapiłem się znowu Jeszcze raz dzięki za pomoc.

[Mariusz M]

Nie trzeba obliczac pierwiastkow wystarcza wzory Viete lub zabawa z funkcjami symetrycznymi

Wzory Newtona moga sie przydac

Kod: Zaznacz cały

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1109.pdf

\(\displaystyle{ \frac{1}{x_{1}^{2}}+ \frac{1}{x_{2}^{2}}+\frac{1}{x_{3}^{2}}=\\
\frac{x_{1}^{2}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}^{2}+x_{2}^{3}x_{3}^{2}}{x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}}\\}\)



\(\displaystyle{ \left(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}\right)^{2}=x_{1}^{2}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}^{2}+x_{2}^{3}x_{3}^{2}+2x_{1}^{2}x_{2}x_{3}+2x_{1}x_{2}^{2}x_{3}+2x_{1}x_{2}x_{3}^{2}\\
\left(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}\right)^{2}-2x_{1}x_{2}x_{3}\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)=x_{1}^{2}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}^{2}+x_{2}^{3}x_{3}^{2}\\
= \frac{\left(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}\right)^{2}-2x_{1}x_{2}x_{3}\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)}{\left( x_{1}x_{2}x_{3}\right)^{2} }}\)

Po zastosowaniu wzorow Viete mamy

\(\displaystyle{ = \frac{a_{1}^{2}-2\left( -a_{2}\right) \left( -a_{0}\right) }{a_{0}^{2}}\\
= \frac{a_{1}^{2}-2a_{2}a_{0}}{a_{0}^{2}}}\)