Suma wszystkich współczynników oraz współczynników przy...

[oskar11]

Witam!

Chciałbym się dopytać jak na ogólnych symbolach rozumieć pojęcie sumy wszystkich współczynników przy potęgach parzystych i nieparzystych.

Mamy dajmy na to wielomian
\(\displaystyle{ W(x)=ax^4+bx^3+ax^2+dx+e}\)
\(\displaystyle{ W(1)=a+b+c+d+e}\)
\(\displaystyle{ W(-1)=a-b+c-d+e}\)

Czyli \(\displaystyle{ W(1)}\) to suma wszystkich współczynników, a\(\displaystyle{ W(-1)}\) przy parzystych odjąc przy nieparzystych
\(\displaystyle{ W(1)+W(-1)=2(a+b)+2e}\) - to by była podwojona suma współczynników przy parzystych potęgach - no właśnie, tylko co z tym wyrazem wolnym?
I gdybym chciał powiedzmy sumę współczynników przy potęgach nieparzystych to liczę:
\(\displaystyle{ W(1)-W(-1)}\)
Głównie chodzi mi o ten wyraz wolny. On się zalicza do sumy, ale gdy ktoś mi poda np. sumę współczynników przy parzystych potęgach to on się łapie do tego zawsze?

Powiedzmy inny przykład.
\(\displaystyle{ W(x)=4x^2+3x+1}\)
\(\displaystyle{ W(1)=4+3+1}\)
\(\displaystyle{ W(-1)=4-3+1}\)
Chcę dajmy na to obliczyć sumę współczynników przy potęgach parzystych/nieparzystych - jak by to wyglądało?

[schloss]

Zwykle jak są zadania i jest zadanie, gdzie jest mowa np o sumie parzystych współczynników i nieparzystych to interpretuje się ją inaczej, nie za pomocą jakichś tam wzorów.
Nie sądzę, by taki wzór istniał. Załóżmy, że znalazłeś takie c, że, gdy je podstawisz do wielomianu to masz- zamiast każdego x-a do parzystej potęgi -zero. Tylko zero ma taką właściwość. Ale wtedy masz W(0)=wyraz wolny.

[oskar11]

A gdy mamy do czynienia z zadaniami takie jak to:

Znajdź sumę współczynników przy nieparzystych potęgach x wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=(x^5+x-1)^{2010}}\)

[schloss]

powiedziałbym, że jest równa zero.
zauważ, że wszystkie potęgi będą parzyste.
dlaczego? bo podnosisz x-y (z dowolnymi wykładnikami potęgi przy nich) do parzystej potęgi.

spójrz:
dane są dwie liczby naturalne, spośród których jedna jest parzysta, druga nieparzysta
2n
2m+1

obliczmy ich iloczyn:
\(\displaystyle{ 2n*(2m+1)=4nm+2n=2(2nm+n)}\)

więc iloczyn liczby nieparzystej i parzystej jest liczbą parzystą, tym bardziej iloczyn dwóch liczb parzystych

[oskar11]

Nie przekonuje mnie to szczerze mówiąc.

\(\displaystyle{ W(x)=(x^5+x-1)^{2010}}\)

Ja kombinowałem w ten sposób, że
\(\displaystyle{ W(1)=1}\)
\(\displaystyle{ W(-1)=-3^{2010}}\)
\(\displaystyle{ \frac{W(1)-W(-1)}{2}=\frac{1-3^{2010}}{2}}}\)

[Ponewor]

Tak jak już wcześniej powiedziano wstaw \(\displaystyle{ x=0}\) i otrzymasz wyraz wolny.

Witam!

\(\displaystyle{ W(1)+W(-1)=2(a+b)+2e}\) - to by była podwojona suma współczynników przy parzystych potęgach - no właśnie, tylko co z tym wyrazem wolnym?

Tu jest błąd powinno być \(\displaystyle{ W(1)+W(-1)=2(a+c)+2e}\)

[oskar11]

Tak, ale to wkradł się tylko błąd przy pisaniu (widać, że przy dodaniu stronami mamy 2c).

Jak to doprowadzić do końca?

To co już kolega wcześniej napisał, że byłaby równa zero, bo podnosimy do parzystej potęgi, ale chciałbym to jakoś wykazać.

Z tymże na prostszym przykładzie:
... x-1%29%5E2

Nie jest tak, że wszystkie potęgi są parzyste.

[achsinus]

W(1) - suma wszystkich współczynników

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}[W(1) + W(-1)]}\)- suma wsp. przy "x" z wykładnikiem parzystym, ( wyraz wolny to wsp. przy "x" z wykładnikiem 0, a 0 jest liczbą parzystą )

\(\displaystyle{ W(1)- \frac{1}{2}[W(1)+W(-1)]= \frac{1}{2}[W(1)-W(-1)]}\) - suma wsp. przy wykł. nieparz.

USUNIĘTO LINK