Szybkie rozkładanie wielomianu

[anna_]

\(\displaystyle{ (3x^2-5x+2)(5-2x)(x^2+1)>0}\)
\(\displaystyle{ (3x^2-5x+2)(5-2x)>0}\)
kwadratowe na iloczyn
\(\displaystyle{ 3(x- \frac{2}{3} )(x+1)(5-2x)>0}\)

teraz zaznaczasz na osi miejsca zerowe, czyli kolejno \(\displaystyle{ \frac{2}{3};1; 1,5}\)
rysujesz węźyk i odczytujesz rozwiązanie z wykresu

[oskar11]

Chciałbym się jeszcze dopytać o przykłady z wartością bezwzględną.

Dajmy na to taki:
\(\displaystyle{ |x-2|^3-4|x-2|^2 \le 0}\)
Rozbijam sobie na dwa przypadki, najpierw, że x ge 2 i otrzymuję z tego:
\(\displaystyle{ (x-2)^3-4(x-2)^2 \le 0}\)
\(\displaystyle{ x \in (-\infty,6]}\)

Chodzi mi bardziej o druga część, kiedy to \(\displaystyle{ x<2}\)
Jak jest najbezpieczniej robić? Zmieniać znak wewnątrz wyrażenia czy wyłączyć przed?
\(\displaystyle{ -(x-2)^3-4(x-2)^2 \le 0}\)
Zmieniam znaki wtedy, gdy pod wartością wychodzą liczby ujemne, tylko co z tym kwadratem - jeżeli mamy parzystą potęgę to po prostu przepisuję?

Jeszcze jedno pytanie co do podstawień, bo widziałem coś w stylu:
\(\displaystyle{ \left| \frac{(x-1)^2}{(x-2)^2}\right| +\left| \frac{x-1}{x-2}\right| -12<0}\)

Gdy obiorę sobie:
\(\displaystyle{ t=\left| \frac{x-1}{x-2}\right|}\)
to czy
\(\displaystyle{ t^2=\left| \frac{x-1}{x-2}\right|^2=\left| \frac{(x-1)^2}{(x-2)^2}\right|}\)

Jest jakaś własność wartości bezwzględnej, dzięki której mógłbym to sprawdzić?

[anna_]

\(\displaystyle{ |x-2|^3-4|x-2|^2 \le 0}\)
W tym przykładzie to akurat wyłączyłabym sobie przed nawias \(\displaystyle{ |x-2|^2}\)

Traktuj wartośc bezwzględną jak rodzaj nawiasu, czyli w tym drugim przypadku
\(\displaystyle{ \left( -(x-2)\right) ^3-4\left(-(x-2) \right)^2}\)
teraz bez róźnicy czy zapiszesz to jako
\(\displaystyle{ -(x-2)^3-4(x-2)^2}\)
czy też
\(\displaystyle{ (2-x)^3-4(2-x)^2}\)
Ja wolę chyba jednak wolę ten drugi sposób. Jest mniejsze prawdopodobieństwo, że nie zrobi się błędu przy opuszczaniu nawiasu, szczególnie gdy trzeba zmieniać znaki.
__________________________________________
Tutaj zapisałabym to trochę inaczej
\(\displaystyle{ \left| \frac{(x-1)^2}{(x-2)^2}\right| +\left| \frac{x-1}{x-2}\right| -12<0}\)
\(\displaystyle{ \left| \left( \frac{x-1}{x-2} \right) ^2 \right| +\left| \frac{x-1}{x-2}\right| -12<0}\)

\(\displaystyle{ t= \frac{x-1}{x-2}}\)

\(\displaystyle{ |t^2|+|t|-12<0}\)

i teraz:
\(\displaystyle{ t^2+|t|-12<0}\)

[piasek101]

Mógłbyś rozwinąć?

\(\displaystyle{ (5-2x)\neq -\left(x-\frac{5}{2}\right)}\)

A co do rozwiązywania to pisałem ,,masz wyznaczyć zera nawiasów" nie musisz tego przekształcać.
W czym Ci przeszkadza to \(\displaystyle{ (5-2x)}\) ?
Nie powinno w niczym.

Co do ostatniego - najwygodniejsze raczej będzie podstawienie \(\displaystyle{ t=||}\) (czyli pierwsze z Twoich).