Wyznacz wspólczyniki

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
jbeb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 276
Rejestracja: 21 lis 2011, o 10:44
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 50 razy

Wyznacz wspólczyniki

Post autor: jbeb »

Wyznacz współczynniki rzeczywiste \(\displaystyle{ a, b, c}\) wielomianu \(\displaystyle{ W(x)= ax^{4}+ bx^{3}+c}\) wiedząc, że iloczyn reszt z dzielenia tego wielomianu przez dwumiany \(\displaystyle{ x^{2}+1}\) i \(\displaystyle{ x^{3}+1}\) jest równy \(\displaystyle{ 2(x-1)(x-5)}\).

Po obliczeniach wychodzi mi, że \(\displaystyle{ ab=2}\) i \(\displaystyle{ b^{2}-bc- a^{2}-ac=-12}\) i \(\displaystyle{ -ab-bc+ac+ c^{2}=10}\), ale to jest niemożliwe do obliczenia... jakiś wielomiany mi tu wychodzą, które nic mi nie rozwiązują... Musi być jakiś prostszy sposób, jaki????-- 7 sty 2012, o 16:38 --W odpowiedziach jest \(\displaystyle{ ax^{2}+bx+c=2a \frac{x(x-1)}{2}+(a+b)x+c}\)
Tylko skąd oni wzięli taką tożsamość, szczególnie to po znaku "="??
oskar11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 97
Rejestracja: 17 lip 2011, o 22:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lubelskie
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1 raz

Wyznacz wspólczyniki

Post autor: oskar11 »

Napisz, jak liczyłaś.

Ogólnie można sobie pisemnie podzielić wielomian przez oba dwumiany.
Iloczyn dwóch wyjściowych wielomianów będzie równy iloczynowi reszt.
jbeb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 276
Rejestracja: 21 lis 2011, o 10:44
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 50 razy

Wyznacz wspólczyniki

Post autor: jbeb »

No i tak liczyłam, później wychodzi to co pisałam...
oskar11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 97
Rejestracja: 17 lip 2011, o 22:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lubelskie
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1 raz

Wyznacz wspólczyniki

Post autor: oskar11 »

Musiały być jakieś błędy przy dzieleniu pisemnym

95443.htm#p351555
kamil13151
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5018
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Wyznacz wspólczyniki

Post autor: kamil13151 »

Jeżeli nie chce się nam dzielić pisemnie możemy wykorzystać do tego liczby zespolone.

Mamy: \(\displaystyle{ W(x)= ax^{4}+ bx^{3}+c}\) oraz \(\displaystyle{ P(x)=x^{2}+1}\)

Pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ P(x)}\) mieszczą się w zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ i; -i\right\}}\).

Sprawdźmy wartości dla tych pierwiastków, skorzystamy z tego, że \(\displaystyle{ i^2=-1}\).

\(\displaystyle{ W(i)=a-bi+c \\ W(-i)=a+bi+c}\)

Przy dzieleniu wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ P(x)}\) uzyskamy resztę przynajmniej o jeden stopień mniejszą niż wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\), także możemy \(\displaystyle{ W(x)}\) przedstawić w postaci \(\displaystyle{ W(x)=Q(x)(x^2+1)+dx+e}\).

Teraz liczymy \(\displaystyle{ W(i)=di+e}\) oraz \(\displaystyle{ W(-i)=-di+e}\).

Także mamy równości:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a-bi+c=di+e \\ a+bi+c=-di+e \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} d=-b \\ e=a+c \end{cases}}\)

Stąd reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ P(x)}\) jest równa \(\displaystyle{ -bx+a+c}\).

Z drugim robimy podobnie.
ODPOWIEDZ