Wyznacz współczynniki rzeczywiste \(\displaystyle{ a, b, c}\) wielomianu \(\displaystyle{ W(x)= ax^{4}+ bx^{3}+c}\) wiedząc, że iloczyn reszt z dzielenia tego wielomianu przez dwumiany \(\displaystyle{ x^{2}+1}\) i \(\displaystyle{ x^{3}+1}\) jest równy \(\displaystyle{ 2(x-1)(x-5)}\).
Po obliczeniach wychodzi mi, że \(\displaystyle{ ab=2}\) i \(\displaystyle{ b^{2}-bc- a^{2}-ac=-12}\) i \(\displaystyle{ -ab-bc+ac+ c^{2}=10}\), ale to jest niemożliwe do obliczenia... jakiś wielomiany mi tu wychodzą, które nic mi nie rozwiązują... Musi być jakiś prostszy sposób, jaki????-- 7 sty 2012, o 16:38 --W odpowiedziach jest \(\displaystyle{ ax^{2}+bx+c=2a \frac{x(x-1)}{2}+(a+b)x+c}\)
Tylko skąd oni wzięli taką tożsamość, szczególnie to po znaku "="??
Wyznacz wspólczyniki
-
- Użytkownik
- Posty: 97
- Rejestracja: 17 lip 2011, o 22:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: lubelskie
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1 raz
Wyznacz wspólczyniki
Napisz, jak liczyłaś.
Ogólnie można sobie pisemnie podzielić wielomian przez oba dwumiany.
Iloczyn dwóch wyjściowych wielomianów będzie równy iloczynowi reszt.
Ogólnie można sobie pisemnie podzielić wielomian przez oba dwumiany.
Iloczyn dwóch wyjściowych wielomianów będzie równy iloczynowi reszt.
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Wyznacz wspólczyniki
Jeżeli nie chce się nam dzielić pisemnie możemy wykorzystać do tego liczby zespolone.
Mamy: \(\displaystyle{ W(x)= ax^{4}+ bx^{3}+c}\) oraz \(\displaystyle{ P(x)=x^{2}+1}\)
Pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ P(x)}\) mieszczą się w zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ i; -i\right\}}\).
Sprawdźmy wartości dla tych pierwiastków, skorzystamy z tego, że \(\displaystyle{ i^2=-1}\).
\(\displaystyle{ W(i)=a-bi+c \\ W(-i)=a+bi+c}\)
Przy dzieleniu wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ P(x)}\) uzyskamy resztę przynajmniej o jeden stopień mniejszą niż wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\), także możemy \(\displaystyle{ W(x)}\) przedstawić w postaci \(\displaystyle{ W(x)=Q(x)(x^2+1)+dx+e}\).
Teraz liczymy \(\displaystyle{ W(i)=di+e}\) oraz \(\displaystyle{ W(-i)=-di+e}\).
Także mamy równości:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a-bi+c=di+e \\ a+bi+c=-di+e \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} d=-b \\ e=a+c \end{cases}}\)
Stąd reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ P(x)}\) jest równa \(\displaystyle{ -bx+a+c}\).
Z drugim robimy podobnie.
Mamy: \(\displaystyle{ W(x)= ax^{4}+ bx^{3}+c}\) oraz \(\displaystyle{ P(x)=x^{2}+1}\)
Pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ P(x)}\) mieszczą się w zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ i; -i\right\}}\).
Sprawdźmy wartości dla tych pierwiastków, skorzystamy z tego, że \(\displaystyle{ i^2=-1}\).
\(\displaystyle{ W(i)=a-bi+c \\ W(-i)=a+bi+c}\)
Przy dzieleniu wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ P(x)}\) uzyskamy resztę przynajmniej o jeden stopień mniejszą niż wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\), także możemy \(\displaystyle{ W(x)}\) przedstawić w postaci \(\displaystyle{ W(x)=Q(x)(x^2+1)+dx+e}\).
Teraz liczymy \(\displaystyle{ W(i)=di+e}\) oraz \(\displaystyle{ W(-i)=-di+e}\).
Także mamy równości:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a-bi+c=di+e \\ a+bi+c=-di+e \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} d=-b \\ e=a+c \end{cases}}\)
Stąd reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ P(x)}\) jest równa \(\displaystyle{ -bx+a+c}\).
Z drugim robimy podobnie.