Rozkład wielomianu na czynniki (duże potęgi)

[oskar11]

Witam!

Mam problem z doprowadzeniem do najprostszej postaci dwóch wielomianów.
Może zacznijmy od jednego póki co.

\(\displaystyle{ W(x)=x^8+x^4+1=x^8+2x^4+1-x^4=(x^4+1)^2-x^4=(x^4+1)^2-(x^2)^2=(x^4-x^2+1)(x^4+x^2+1)=((x^2-1)^2+x^2)((x^2+1)^2-x^2)}\)

Dalej nie udało mi się tego sensownie uprościć - prosiłbym o jakąś wskazówkę.

[MichalPWr]

za \(\displaystyle{ x^4}\) podstaw \(\displaystyle{ t}\) i rozwiąż jak zwykłą deltę:)

[anna_]

\(\displaystyle{ ((x^2+1)^2-x^2)}\)<-- zastosuj wzór na różnicę kwadratów

[oskar11]

Dziękuję, nie wiem jak mi to umknęło - późno się zrobiło .

\(\displaystyle{ W(x)=((x^2-1)^2+x^2)((x^2+1)^2-x^2)=((x^2-1)^2+x^2)((x^2-x+1)(x^2+x+1))}\)

Także zostaje jedynie:
\(\displaystyle{ (x^2-1)^2+x^2}\)

[anna_]

to akurat zostawiłabym w postaci
\(\displaystyle{ x^4 - x^2 + 1}\)

[oskar11]

Autorzy jednak męczyli jeszcze tę postać - dość karkołomny przykład.

Ogólnie cała odpowiedź wygląda następująco:
\(\displaystyle{ (x^2+x+1)(x^2-x+1)(x^2+x\sqrt{3}+1)(x^2-x\sqrt{3}+1)}\)

[anna_]

Metodą grupowania raczej trudno do takiej postaci dojść.

Więc chyba tylko podstawienie \(\displaystyle{ x^2=t,t>0}\), delta i pierwiastki

[oskar11]

% ... %5E2+%2B+1

Z tymże podstawienie nic mi nie daje, bo delta i tak jest ujemna swoją drogą czy przy założeniu dla zmiennej pomocniczej powinna być większe czy większe bądź równe od zera?

[anna_]

Fakt, nie sprawdziłam tej delty.

\(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\)


\(\displaystyle{ x^4 - x^2 + 1=(x^4+2x^2+1)-3x^2=(x^2+1)^2-(x \sqrt{3} )^2=\\(x^2+1-x \sqrt{3})(x^2+1+x \sqrt{3})}\)

[oskar11]

Dziękuję serdecznie.

Jeszcze jeden przykład:
\(\displaystyle{ W(x)=x^{12}-2x^6+1}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x^6-1)^2=((x^2)^3-1)^2=(x^2-1)^2(x^4+x^2+1)^2=(x^2-1)^2((x^2+1)^2-x^2)^2=(x^2-1)^2((x^2-x+1)(x^2+x+1))^2=(x+1)^2(x-1)^2(x^2-x+1)^2(x^2+x+1)^2}\)

Jak mam dajmy na to
\(\displaystyle{ (x^2-1)^2}\)
to po prostu traktuję jako \(\displaystyle{ (a-b)^2}\), a dla:
\(\displaystyle{ (x^2+1)^2-x^2)^2}\)
Wtedy lewy nawias jako wyrażenie \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ \sqrt{x}^2}\) jako \(\displaystyle{ b}\), tylko jeszcze pytanie co do potęg pozostających przy nawiasach - to jak wyrażenie zwinę do iloczynu, czyli tak jak powyżej, to na mocy tego, że \(\displaystyle{ a^n b^n=(ab)^n}\)?
Czy są jakieś inne sposoby, żeby w miarę szybko rozkładać tego typu przykłady - mam kilka jeszcze bardziej rozbudowanych i gdybym miał to robić na czas to obawiam się, że bez jakiegoś programu do obliczeń byłoby ciężko.

[kamil13151]

Wszystko tak, tylko tutaj \(\displaystyle{ ((x^2+1)^2-x^2)^2}\) jest \(\displaystyle{ a=x^2+1}\) i \(\displaystyle{ b=x}\).

Ten sposób myślę, że jest najszybszy, jeszcze jak jest problem z rozkładem wielomianu 4 stopnia możemy skorzystać z metody Ferrariego.