Wyznacz wartości parametru k

[jagielloma]

Witajcie.

Mam zadanko i do końca nie mogę sobie z nim poradzić.

Wyznacz wszystkie parametry \(\displaystyle{ k\in R}\), dla których pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=(x^{2}-8x+12)(x-k)}\) są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego.

Doszedłem sam do takiego czegoś:

\(\displaystyle{ W(x)=(x^{2}-8x+12)(x-k)}\)

\(\displaystyle{ \Delta=64-48=16}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}= 4}\)

\(\displaystyle{ x_{1}= \frac{8-4}{2} = \frac{4}{2} =2}\)

\(\displaystyle{ x_{2} = \frac{8+4}{2} = \frac{12}{2} =6}\)

\(\displaystyle{ W(x)=(x-2)(x-6)(x-k)}\)

I właśnie nie wiem co z tym dalej zrobić.

[kamil13151]

Także są trzy możliwości ciągu \(\displaystyle{ 2,6,k}\) lub \(\displaystyle{ k,2,6}\) lub \(\displaystyle{ 2,k,6}\). Policz \(\displaystyle{ k}\).

[MichalPWr]

\(\displaystyle{ \frac{ x_{2} }{ x_{1}}= \frac{k}{x _{2} } lub \frac{ x_{1} }{ x_{2}}= \frac{k}{x _{1} }}\)

[Freddy Eliot]

Sa jeszcze inne \(\displaystyle{ 3}\) możliwości: \(\displaystyle{ k,\ 6,\ 2}\) lub \(\displaystyle{ 2,\ k,\ 6}\) lub \(\displaystyle{ 6,\ k,\ 2.}\)

[jagielloma]

A który ze wzorów podanych przez wiertarę będzie do ciągu \(\displaystyle{ 2,6,k}\), czy to nie ma znaczenia?

[kamil13151]

Sa jeszcze inne \(\displaystyle{ 3}\) możliwości: \(\displaystyle{ k,\ 6,\ 2}\) lub \(\displaystyle{ 2,\ k,\ 6}\) lub \(\displaystyle{ 6,\ k,\ 2.}\)

To ma być ciąg rosnący. Wszystkiego możliwości są podane w moim poście.

[jagielloma]

Wyszło mi, że

\(\displaystyle{ k=18}\) lub \(\displaystyle{ k= \frac{2}{3}}\)

Mógłby mi jeszcze ktoś napisać, w jaki sposób mam zapisać ciąg w zeszycie (po prostu trzy kolejne liczby oddzielone przecinkiem)? A druga rzecz, to skąd wziąłeś te wzory (nie miałem jeszcze ciągów)?

[kamil13151]

jagielloma, jeszcze trzeci przypadek: \(\displaystyle{ 2,k,6}\).

[jagielloma]

jagielloma, jeszcze trzeci przypadek: \(\displaystyle{ 2,k,6}\).

A z jakiego wzoru to obliczyć?

[Freddy Eliot]

\(\displaystyle{ 2q^{2}=6, \\ q=\sqrt{3}, \\ k=2q=2\sqrt{3}}\)

[kamil13151]

Ze wzoru na wyraz środkowy \(\displaystyle{ k^2=6 \cdot 2}\), oczywiście \(\displaystyle{ k>0}\), więc rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ k= \sqrt{12}=2 \sqrt{3}}\).

[jagielloma]

A moglibyście przedstawić mi wzory na pierwszy wyraz ciągu, drugi wyraz ciągu, i np. n-ty wyraz ciągu?

[Freddy Eliot]

W ciągu geometrycznym: \(\displaystyle{ a_{1},\ a_{2}=a_{1}q, \ a_{3}=a_{1}q^{2}, ... ,\ a_{n}=a_{1}q^{n-1}}\)