Rozkład wielomianu na czynniki

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 4 sty 2012, o 21:45

Lipek pisze:\(\displaystyle{ x^3-x-6x-6=x(x ^{2}-6)-(x+6)}\)?

Albo :
\(\displaystyle{ =x(x^2-1)-6(x-1)}\)

Lipek · Post autor: **Lipek** » 4 sty 2012, o 21:51

\(\displaystyle{ x(x^2-1)-6(x+1)= x(x-1)(x+1)-6(x+1)=(x+1)(x ^{2}-x-6)=(x+1)(x-3)(x+2)}\)

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 4 sty 2012, o 21:55

Lipek · Post autor: **Lipek** » 4 sty 2012, o 21:59

Ok, ale dalej nie rozumiem, np. \(\displaystyle{ W(x)=x ^{3} +5x ^{2}+3x-9}\) mam zapisac w innej postaci -.-
Skąd Ty to wiesz, co masz robic ? ;]

adner · Post autor: **adner** » 4 sty 2012, o 22:12

Widać, że pierwiastkiem tego wyrażenia jest 1, więc szukamy takiego rozkładu na czynniki, żeby oba miały za pierwiastek jedynkę. Co zrobić z \(\displaystyle{ 3x-9}\)? Dodajemy i odejmujemy \(\displaystyle{ 6x}\), otrzymując:
\(\displaystyle{ W(x)=x ^{3} +5x ^{2}+-6x +9x-9}\)
Teraz z kolei widać, że podobny zabieg można zrobić z kwadratami: dodajemy i odejmujemy \(\displaystyle{ x^{2}}\), aby coś móc zrobić z \(\displaystyle{ x^{3}}\):
\(\displaystyle{ W(x)=x ^{3} -x^{2} +6x ^{2}+-6x +9x-9}\)
I już jest łatwo.

Tak naprawdę trzeba rozwiązać 100 takich przykładów i w końcu się złapie wyczucie co trzeba z czym zrobić(tutaj tak naprawdę nie jest potrzebny ten drugi krok bo można wyciągać przed nawias już po pierwszym, zgadując pierwiastki odpowiedniego wielomianu stopnia drugiego ale chodzi o metodę).

Lipek · Post autor: **Lipek** » 4 sty 2012, o 22:20

Wielkie dzięki, a co w przypadku, gdy nie będzie pierwiastkow ?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 4 sty 2012, o 22:22

W liceum będą.

adner · Post autor: **adner** » 4 sty 2012, o 22:23

Wtedy zależy od konkretnego przykładu. Czasami trzeba przyrównać współczynniki do takiego rozłożonego wielomianu, ale zwykle to polega na zauważaniu podobnych czynników i ich wielokrotności.

Lipek · Post autor: **Lipek** » 4 sty 2012, o 22:41

ok, więc \(\displaystyle{ W(x)=x ^{3} +4x ^{2} +x-6}\)
Pierwiastkiem tez jest :1 więc szukamy czynnika (x-1)

\(\displaystyle{ W(x)= x ^{3} -5x+6x-6+5x ^{2} -x ^{2}}\)

\(\displaystyle{ W(x)=x ^{2}(x-1)+5x(x-1)+6(x-1)}\)

\(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(x ^{2}+5x+6)}\)

dobrze ?

adner · Post autor: **adner** » 4 sty 2012, o 22:45

Dobrze, tylko ten drugi czynnik też można dalej rozłożyć(policz deltę i pierwiastki).

Lipek · Post autor: **Lipek** » 4 sty 2012, o 22:47

\(\displaystyle{ x ^{2}+5x+6=x ^{2}+2x+3x+6 = x(x+2) +3(x+2)= (x+3)(x+2)}\)

-- 4 sty 2012, o 22:58 --

\(\displaystyle{ W(x)=2x ^{3}-5x ^{2}-x+6}\)
Pierwiastkiem jest liczba:-1 szukam czynnika (x+1)

\(\displaystyle{ W(x)=2x ^{3} -5x ^{2}-7x+6x+6}\)

\(\displaystyle{ W(x)=2x ^{3}-7x ^{2} +2x ^{2} +6x+6}\)

\(\displaystyle{ W(x)= 2x ^{2}(x+1)-7x(x+1)+6(x+1)}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x+1)(2x ^{2}-7x+6)}\)
\(\displaystyle{ 2x ^{2}-7x+6=2x ^{2}-4x-3x+6=2x(x-2)-3(x-2)=(x-2)(2x-3)}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x+1)(x-2)(2x-3)}\)

dobrze ?