\(\displaystyle{ -6x ^{4}+4x ^{2}-8x+2=0}\)
Nie bardzo wiem jak się do tego zabrać... Z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych się nie da, wyciągnąć przed nawias też się nie da, grupowanie czynników też nie wchodzi w grę....
Rozwiaż wielomian
-
tatteredspire
- Użytkownik
- Posty: 716
- Rejestracja: 2 wrz 2009, o 21:59
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 83 razy
- Pomógł: 74 razy
Rozwiaż wielomian
Wolfram podaje przybliżone wartości więc to grubsza sprawa. Skorzystaj ze wzorów na pierwiastki równania czwartego stopnia.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Rozwiaż wielomian
Możesz albo podstawić
\(\displaystyle{ 48x^4-32x^2+64x-16=0}\)
Gdy podstawisz
\(\displaystyle{ 2x=u+v+w}\)
otrzymasz wzory Viete równania trzeciego stopnia
Możesz także rozłożyć ten wielomian na iloczyn dwóch trójmianów
(albo wymnażając dwa trójmiany w postaci ogólnej i porównując współczynniki
albo sprowadzając wielomian najpierw do postaci różnicy kwadratów)
\(\displaystyle{ 2x=\left( u+v+w\right)\\
4x^2=\left( u^2+v^2+w^2\right)+2\left( uv+uw+vw\right)\\
16x^4=\left( u^2+v^2+w^2\right)^2+4\left( u^2+v^2+w^2\right)\left( uv+uw+vw\right) +4\left( u^2v^2+u^2w^2+v^2w^2\right)+8uvw\left( u+v+w\right)}\)
Możemy teraz przekształcić równanie w układ równań który będzie przypominał
wzory Viete dla równania trzeciego stopnia
\(\displaystyle{ -6x ^{4}+4x ^{2}-8x+2=0\\
x^{4}- \frac{2}{3}x^2+ \frac{4}{3}x- \frac{1}{3}=0\\
16x^{4}- \frac{32}{3}x^2+ \frac{64}{3}x- \frac{16}{3}=0\\
\left( u^2+v^2+w^2\right)^2+4\left( u^2+v^2+w^2\right)\left( uv+uw+vw\right) +4\left( u^2v^2+u^2w^2+v^2w^2\right)+8uvw\left( u+v+w\right)- \frac{8}{3}\left( u^2+v^2+w^2\right)- \frac{16}{3} \left( uv+uw+vw\right) + \frac{32}{3}\left( u+v+w\right)- \frac{16}{3}\\
\left( u^2+v^2+w^2- \frac{4}{3} \right)^2- \frac{16}{9}+4\left( u^2+v^2+w^2- \frac{4}{3} \right)\left( uv+uw+vw\right)
+8\left( u+v+w\right)\left( uvw+ \frac{4}{3} \right)+4\left( u^2v^2+u^2w^2+v^2w^2\right)- \frac{16}{3} \\
\begin{cases} u^2+v^2+w^2- \frac{4}{3}=0 \\ u^2v^2+u^2w^2+v^2w^2- \frac{16}{9}=0\\uvw+ \frac{4}{3}=0 \end{cases}\\
\begin{cases} u^2+v^2+w^2= \frac{4}{3} \\ u^2v^2+u^2w^2+v^2w^2= \frac{16}{9}\\uvw=- \frac{4}{3} \end{cases}\\
\begin{cases} u^2+v^2+w^2= \frac{4}{3} \\ u^2v^2+u^2w^2+v^2w^2= \frac{16}{9}\\u^2v^2w^2= \frac{16}{9} \end{cases}\\
t^3- \frac{4}{3}t^2+ \frac{16}{9}t- \frac{16}{9}=0\\
9t^3-12t^2+16t-16=0}\)
Jeżeli chciałby rozkładac na iloczyn dwóch trójmianow to dostałby taką rezolwentę
\(\displaystyle{ -6x^4+4x^2-8x+2=0\\
3x^4-2x^2+4x-1=0\\
9x^4-6x^2+12x-3=0\\
9x^4=6x^2-12x+3\\
\left( 3x^2+ \frac{y}{2} \right)^2=\left( 3y+6\right)x^2-12x+ \frac{y^2}{4} +3\\
144=\left(y^2+12 \right)\left( 3y+6\right)\\
48= \left(y^2+12 \right)\left( y+2\right)\\
y^3+2y^2+12y+24=48\\
y^3+2y^2+12y-24=0\\}\)
\(\displaystyle{ 48x^4-32x^2+64x-16=0}\)
Gdy podstawisz
\(\displaystyle{ 2x=u+v+w}\)
otrzymasz wzory Viete równania trzeciego stopnia
Możesz także rozłożyć ten wielomian na iloczyn dwóch trójmianów
(albo wymnażając dwa trójmiany w postaci ogólnej i porównując współczynniki
albo sprowadzając wielomian najpierw do postaci różnicy kwadratów)
\(\displaystyle{ 2x=\left( u+v+w\right)\\
4x^2=\left( u^2+v^2+w^2\right)+2\left( uv+uw+vw\right)\\
16x^4=\left( u^2+v^2+w^2\right)^2+4\left( u^2+v^2+w^2\right)\left( uv+uw+vw\right) +4\left( u^2v^2+u^2w^2+v^2w^2\right)+8uvw\left( u+v+w\right)}\)
Możemy teraz przekształcić równanie w układ równań który będzie przypominał
wzory Viete dla równania trzeciego stopnia
\(\displaystyle{ -6x ^{4}+4x ^{2}-8x+2=0\\
x^{4}- \frac{2}{3}x^2+ \frac{4}{3}x- \frac{1}{3}=0\\
16x^{4}- \frac{32}{3}x^2+ \frac{64}{3}x- \frac{16}{3}=0\\
\left( u^2+v^2+w^2\right)^2+4\left( u^2+v^2+w^2\right)\left( uv+uw+vw\right) +4\left( u^2v^2+u^2w^2+v^2w^2\right)+8uvw\left( u+v+w\right)- \frac{8}{3}\left( u^2+v^2+w^2\right)- \frac{16}{3} \left( uv+uw+vw\right) + \frac{32}{3}\left( u+v+w\right)- \frac{16}{3}\\
\left( u^2+v^2+w^2- \frac{4}{3} \right)^2- \frac{16}{9}+4\left( u^2+v^2+w^2- \frac{4}{3} \right)\left( uv+uw+vw\right)
+8\left( u+v+w\right)\left( uvw+ \frac{4}{3} \right)+4\left( u^2v^2+u^2w^2+v^2w^2\right)- \frac{16}{3} \\
\begin{cases} u^2+v^2+w^2- \frac{4}{3}=0 \\ u^2v^2+u^2w^2+v^2w^2- \frac{16}{9}=0\\uvw+ \frac{4}{3}=0 \end{cases}\\
\begin{cases} u^2+v^2+w^2= \frac{4}{3} \\ u^2v^2+u^2w^2+v^2w^2= \frac{16}{9}\\uvw=- \frac{4}{3} \end{cases}\\
\begin{cases} u^2+v^2+w^2= \frac{4}{3} \\ u^2v^2+u^2w^2+v^2w^2= \frac{16}{9}\\u^2v^2w^2= \frac{16}{9} \end{cases}\\
t^3- \frac{4}{3}t^2+ \frac{16}{9}t- \frac{16}{9}=0\\
9t^3-12t^2+16t-16=0}\)
Jeżeli chciałby rozkładac na iloczyn dwóch trójmianow to dostałby taką rezolwentę
\(\displaystyle{ -6x^4+4x^2-8x+2=0\\
3x^4-2x^2+4x-1=0\\
9x^4-6x^2+12x-3=0\\
9x^4=6x^2-12x+3\\
\left( 3x^2+ \frac{y}{2} \right)^2=\left( 3y+6\right)x^2-12x+ \frac{y^2}{4} +3\\
144=\left(y^2+12 \right)\left( 3y+6\right)\\
48= \left(y^2+12 \right)\left( y+2\right)\\
y^3+2y^2+12y+24=48\\
y^3+2y^2+12y-24=0\\}\)