Wielomiany- podzielność.

Disnejx86 · Post autor: **Disnejx86** » 2 sty 2012, o 23:23

Cze. Mam takie 2 zadania za bardzo ich nie rozumiem, proszę o wytłumaczenie!

1)Wyznacz wartość parametru \(\displaystyle{ m}\), dla której wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ Q(x)}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x-3)(x^{2}+3x+9) \ \ Q(x)=x-m}\)

Tutaj coś takiego mam: \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}-27}\) i trzeba obliczyć tak aby \(\displaystyle{ W(m)=0}\) no ale jak skoro tam nie ma m w tym równaniu??

2) Dla jakich b, reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez dwumian \(\displaystyle{ (x-b)}\) jest równa r, jeżeli:
\(\displaystyle{ W(x)=x^{3}-2
r=6}\)

Tutaj robię tak: \(\displaystyle{ W(x)=Q(x) \cdot P(x) + R(x) \Leftrightarrow x^{3}-2=6 \Leftrightarrow x^{3}=8 \Rightarrow x=2}\) no ale mam x, a nie b, a to 2 to odpowiedź... CO mam tutaj źle?

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 3 sty 2012, o 08:40

1) Jeśli \(\displaystyle{ Q(x)}\) ma dzielić \(\displaystyle{ W(x)}\) i \(\displaystyle{ W(x)}\) jest częściowo w postaci iloczynowej to znaczy że \(\displaystyle{ Q(x)}\) dzieli \(\displaystyle{ x-3}\) lub \(\displaystyle{ Q(x)}\) dzieli \(\displaystyle{ x^{2}+3x+9}\)

2) Popraw zapis bo jest coś nie tak z tym warunkiem zadania. Ale treść jako taka sugeruje zastosowanie twierdzenia Bezout w ogólniejszej postaci

Disnejx86 · Post autor: **Disnejx86** » 3 sty 2012, o 09:14

\(\displaystyle{ 2. W(x)=x^{3}-2}\)
\(\displaystyle{ r=6}\)

Możesz pokazać pełny sposób robienia tego typu zadań i zad. 1 to m=3 tak?

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 3 sty 2012, o 10:14

1) tak \(\displaystyle{ m=3}\) bo trójmian \(\displaystyle{ x^{2}+3x+9}\) ma deltę ujemną

2) Zapoznaj się z twierdzeniem Bezout na podstawie którego można przyjąć że \(\displaystyle{ W(b)=r}\)

Disnejx86 · Post autor: **Disnejx86** » 6 sty 2012, o 18:49

Może mi ktoś jeszcze 2 zadanie w pełni wytłumaczyć bo nie rozumiem...

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 9 sty 2012, o 10:07

Ja ci to z przyjemnościa wytłumaczę pod warunkiem że wykażesz wolę współpracy
Czy potrafisz odszukać i przytoczyc tw. Bezout w wersji ogólnej?

Disnejx86 · Post autor: **Disnejx86** » 9 sty 2012, o 16:40

Znam twierdzenie Bronka Bezouta, Jeżeli wielomian jest podzielny przez dwumian x-a to a jest pierwiastkiem!, ale coś mnie tutaj ten zapis myli... czuli co \(\displaystyle{ x^{3}-2=6}\) ? ? ALE mi chodzi do ładne zapisanie, bo ja nie lubie dawać odpowiedzi bez odpowiedniego uzasadnienia, prosze pomoz mi!

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 10 sty 2012, o 01:24

To co przytoczyłeś to szczególny przypadek tw. Bezout. Mi chodzi o uogólnioną wersję. Jak ją przytoczysz to myślę że wszystko stanie się jasne jak dokładnie nalezy zrobić/zapisać zad 2

Disnejx86 · Post autor: **Disnejx86** » 10 sty 2012, o 07:02

Dobra, ale jak to zadanie zrobić bo nie rozuiem, a jest w moim zbiorze, tzn jak ładnie zapisać bo wynik wychodzi ale to wszystko chaotycznie jest zapisane?!

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 11 sty 2012, o 00:42

Tw. Bezout:

\(\displaystyle{ W(b)=r \Leftrightarrow}\) reszta z dzielenia \(\displaystyle{ W(x)}\) przez dwumian \(\displaystyle{ x-b}\) wynosi \(\displaystyle{ r}\)

Stąd przy danych z zadania 2:
\(\displaystyle{ W(x)=x^{3}-2 \\ r=6}\)
i dla pytania: "Dla jakich b, reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez dwumian \(\displaystyle{ (x-b)}\) jest równa r"

Na bazie powyższego twierdzenia wynika że: W(b)=r czyli
\(\displaystyle{ W(b)=b^3-2=6 \\
b^3=8 \\
b=2}\)

i tyle