Równanie z parametrem

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
milus131
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 10 gru 2011, o 16:11
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: xxx
Podziękował: 1 raz

Równanie z parametrem

Post autor: milus131 »

Wyznacz liczbę rozwiązań równania w zależności od parametru m.

\(\displaystyle{ (m-3) x^{4} - 3(m-3) x^{2} +m +2 = 0}\)

Czy mógłby ktoś powiedzieć jak to wyliczyć?
Czy za \(\displaystyle{ x^{2}}\) mogę podstawić np t i liczyć normalnie z delty z warunkami f. kwadratowej, a później rysuję wykres i odczytuję, czy później jeszcze coś trzeba z tym zrobić?
Z góry dziękuję za pomoc
Charles90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 561
Rejestracja: 6 lis 2007, o 08:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań/Kraków
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 64 razy

Równanie z parametrem

Post autor: Charles90 »

Ja bym zrobił to tak jak napisałaś + uwzględnić warunek dla m=3 i nie zapomnieć, co najważniejsze, że działasz na zmiennej x, a nie na zmiennej t.
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Równanie z parametrem

Post autor: mat_61 »

Pomysł jest OK, ale po podstawieniu otrzymasz równanie kwadratowe z parametrem (czyli nie bardzo będziesz mogła narysować wykres) dla którego musisz napisać warunki dla różnej liczby pierwiastków zmiennej \(\displaystyle{ x}\).

-- 2 sty 2012, o 19:26 --

Dodatkowa wskazówka:

Po podstawieniu \(\displaystyle{ x^2=t}\) otrzymasz równanie kwadratowe zmiennej \(\displaystyle{ t}\). Zauważ, że liczba pierwiastków zmiennej \(\displaystyle{ x}\) zależy nie tylko od ilości pierwiastków zmiennej \(\displaystyle{ t}\) ale także od tego jakiego znaku są te pierwiastki.
milus131
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 10 gru 2011, o 16:11
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: xxx
Podziękował: 1 raz

Równanie z parametrem

Post autor: milus131 »

No dobrze, tutaj racja, że raczej średnio to narysuję, dlatego właśnie mam wątpliwości i tak szczerze troszkę się pogubiłam.

Od tego jakie znaki, tzn masz na myśli, że mam skorzystać z wzorów Viete'a, czy jak:) Od razu mówię dziękuję.
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Równanie z parametrem

Post autor: mat_61 »

Generalnie o to właśnie chodzi. Proponuję abyś napisała sobie ile jest rozwiązań równania \(\displaystyle{ f(x)=0}\) w zależności od tego ile i jakich rozwiązań ma równanie \(\displaystyle{ f(t)=0}\) (żeby nie było wątpliwości chodzi o pierwiastki rzeczywiste).

Równanie \(\displaystyle{ f(t)=0}\) jest równaniem kwadratowym co oznacza, że może mieć 0, 1 lub 2 pierwiastki. Natomiast równanie \(\displaystyle{ f(x)}\) może mieć od 0 do 4 pierwiastków i teraz musisz napisać warunki dla tych przypadków:

1) równanie \(\displaystyle{ f(x)=0}\) - zero pierwiastków, jeżeli równanie \(\displaystyle{ f(t)=0}\) ma zero pierwiastków lub jeden pierwiastek ujemny lub dwa pierwiastki ujemne
2) równanie \(\displaystyle{ f(x)=0}\) - jeden pierwiastek, jeżeli rówananie \(\displaystyle{ f(t)=0}\) ma jeden pierwiastek równy zero lub dwa pierwiastki z których jeden jest ujemny a drugi równy zero
3) równanie \(\displaystyle{ f(x)=0}\) - dwa pierwiastki, jeżeli równanie \(\displaystyle{ f(t)=0}\) ma .... lub ...
4) równanie \(\displaystyle{ f(x)=0}\) - trzy pierwiastki, jeżeli .....
5) równanie \(\displaystyle{ f(x)=0}\) - cztery pierwiastki, jeżeli .....

Teraz dla tych zapisanych słownie warunków napisz odpowiednie zależności liczbowe (korzystając między innymi z wzorów Viete'a).

Przykładowo dla punktu 1)

\(\displaystyle{ \Delta<0 \vee \left( \Delta \ge 0 \wedge t_{1} \cdot t_{2}>0 \wedge t_{1}+t_{2}<0\right)}\)

Oczywiście tak jak Ci napisał Charles90 osobno rozpatrz przypadek dla \(\displaystyle{ m=3}\).
milus131
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 10 gru 2011, o 16:11
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: xxx
Podziękował: 1 raz

Równanie z parametrem

Post autor: milus131 »

A mogę jeszcze zapytać jak oceniasz kiedy są równe zero, kiedy, ujemne, dodatnie, tzn na co patrzysz, jak to określać?
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Równanie z parametrem

Post autor: mat_61 »

Ze wzorów Viete'a.

Zobacz na pierwszy przykład:

Warunek \(\displaystyle{ \Delta<0}\) dotyczy przypadku gdy równanie \(\displaystyle{ f(t)}\) nie ma pierwiastków, natomiast warunek \(\displaystyle{ \Delta \ge 0 \wedge t_{1} \cdot t_{2}>0 \wedge t_{1}+t_{2}<0}\) oznacza, że jeżeli istnieją pierwiastki (co najmniej jeden) i są one ujemne. Wiesz skąd biorą się takie warunki?

Analogicznie należy sformułować warunki dla pozozstałych przypadków.
milus131
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 10 gru 2011, o 16:11
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: xxx
Podziękował: 1 raz

Równanie z parametrem

Post autor: milus131 »

Rozumiem ten zapis co do podpunktu 1), tylko nie rozumiem jak opisać te warunki, mam na myśli, jak zauważasz fakt, że dla np \(\displaystyle{ f(x) = 0}\) , które ma jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ f(t)=0}\) ma jeden pierwiastek równy 0 lub dwa, w których jeden jest ujemny, a drugi równy zero.
Tego nie wiem jak szukać:)
Wybacz, jeśli to banalne, ale zależy mi, aby to zrozumieć xP
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Równanie z parametrem

Post autor: mat_61 »

milus131 pisze:...jak zauważasz fakt, że dla np \(\displaystyle{ f(x) = 0}\) , które ma jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ f(t)=0}\) ma jeden pierwiastek równy 0 lub dwa, w których jeden jest ujemny, a drugi równy zero.
Raczej należałoby napisać:

\(\displaystyle{ f(x) = 0}\) ma jedno rozwiązanie jeżeli \(\displaystyle{ f(t)=0}\) ma jeden pierwiastek równy 0 lub dwa, w których jeden jest ujemny, a drugi równy zero.

Zauważ, że jak znajdziesz rozwiązanie równania \(\displaystyle{ f(t)=0}\), to wówczas musisz wrócić do podstawienia \(\displaystyle{ t=x^2}\) z którego dopiero wyznaczysz wartości \(\displaystyle{ x}\) i to będą rozwiązania równania \(\displaystyle{ f(x)=0}\).

-------------
Przykład:

Jeżeli będą np. dwa pierwiastki \(\displaystyle{ t_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ t_{2}}\) równania \(\displaystyle{ f(t)=0}\), to wówczas wyznaczając wartości \(\displaystyle{ x}\) z powyższego podstawienia możesz mieć takie sytuacje:

a) dwa pierwiastki ujemne np. \(\displaystyle{ t_{1}=-9 \vee t_{2}=-1}\) czyli \(\displaystyle{ x^2=-9 \vee x^2=-1}\). Jak widać żadne z tych równań nie ma rozwiązania w liczbach rzeczywistych, czyli równanie \(\displaystyle{ f(x)=0}\) nie ma pierwiastków (pomimo, że równanie \(\displaystyle{ f(t)=0}\) miało pierwiastki)

b) jeden pierwiastek ujemny i jeden równy zero np. \(\displaystyle{ t_{1}=-9 \vee t_{2}=0}\) czyli \(\displaystyle{ x^2=-9 \vee x^2=0}\). Z tych równań otrzymasz jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ x=0}\)

c) jeden pierwiastek ujemny i jeden dodatni np. \(\displaystyle{ t_{1}=-9 \vee t_{2}=1}\) czyli \(\displaystyle{ x^2=-9 \vee x^2=1}\). Z tych równań otrzymasz dwa rozwiązania \(\displaystyle{ x=1 \vee x=-1}\)

d) jeden pierwiastek równy zero i jeden dodatni np. \(\displaystyle{ t_{1}=0 \vee t_{2}=1}\) czyli \(\displaystyle{ x^2=0 \vee x^2=1}\). Z tych równań otrzymasz trzy rozwiązanie \(\displaystyle{ x=0 \vee x=1 \vee x=-1}\)

e) dwa pierwiastki dodatnie np. \(\displaystyle{ t_{1}=9 \vee t_{2}=1}\) czyli \(\displaystyle{ x^2=9 \vee x^2=1}\). Z tych równań otrzymasz cztery rozwiązania \(\displaystyle{ x=3 \vee x=-3 \vee x=1 \vee x=-1}\)

Jak widać z tego przykładu ilość pierwiastków równania \(\displaystyle{ f(x)=0}\) zależy nie tylko od tego ile pieriwastków ma równanie \(\displaystyle{ f(t)=0}\) ale także od tego jakie to są pierwiastki. Tutak masz pokazany przypadek w którym dla 2 pierwiastków równania \(\displaystyle{ f(t)=0}\) masz od zera do czterech pierwiastków równania \(\displaystyle{ f(x)=0}\).

Czy o takie wyjaśnienie Ci chodziło?
ODPOWIEDZ