Układ równań wielomianowych

[matemaniak508]

Udowodnić, że układ \(\displaystyle{ A}\) jest równoważny układowi \(\displaystyle{ B}\) (czyli ma taki sam zbiór rozwiązań)
\(\displaystyle{ a,b,c,d}\)-ustalone współczynniki rzeczywiste, \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R} \setminus\{1,-1,0\}}\)

A)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a x^{3} + b x^{2} + c x + d=0 \\ d x^{3} + c x^{2} + b x + a=0 \end{cases}}\)

B)
\(\displaystyle{ \begin{cases}a x^{2} +(b-d) x +a=0 \\ d x^{2} +(c-a) x +d=0\end{cases}}\)

-- 5 sty 2012, o 18:49 --

W zbiorze z jakiego pochodzi to zadanie znajduje się "wskazówka":
Należy dodawać i odejmować stronami i wykorzystać założenia.
(To tak dla większego zainteresowania tematem )

[octahedron]

\(\displaystyle{ \begin{cases}ax^2+bx-dx+a=0 \\ dx^2+cx-ax+d=0\end{cases} \Rightarrow
\begin{cases}ax^3+bx^2-dx^2+ax=0\\dx^3+cx^2-ax^2+dx=0\end{cases}\\
\begin{cases}ax^2+bx-dx+a=0 \\ dx^2+cx-ax+d=0\end{cases} \Rightarrow
\begin{cases}bx+a=-ax^2+dx\\ cx+d=-dx^2+ax\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}ax^3+bx^2+cx+d=0 \\ dx^3+cx^2+bx+a=0 \end{cases}}\)