Rozkład wielomianu na czynniki możliwie najniższego stopnia

[jagielloma]

Witajcie.

Mam takie zadanko, z którym nie mogę sobie poradzić. Brzmi ono następująco:

1. Rozłóż na czynniki możliwie najniższego stopnia wielomian:

a) \(\displaystyle{ W\left( x\right)= x^{4}-9x^{2}+14}\)

b) \(\displaystyle{ W\left( x\right)= x^{6}-19x^{3}-216}\)

2. Wyznacz miejsca zerowe wielomianu:

a) \(\displaystyle{ W\left( x\right)= x^{3}+x^{2}-\left( 2 \sqrt{2}+2 \right)}\)

[cosinus90]

Po pierwsze to chyba nie dopisałeś \(\displaystyle{ x}\) przy potęgach. A po drugie to z czym masz problem?

[jagielloma]

Faktycznie nie dopisałem, ale już poprawiłem to. Nie wiem jak zacząć to robić. "X" przed nawias na pewno nie dam rady wyciągnąć. Trzeba w tych przykładach korzystać ze schematu Hornera?

[cosinus90]

Niekoniecznie. Podstaw zmienną pomocniczą i potraktuj to jak trójmian kwadratowy.

[jagielloma]

W które miejsce mam podstawić zmienną pomocniczą? Bo na pewno nie za "X".

Chodzi o to, że np. \(\displaystyle{ t= x^{2}}\)?

[cosinus90]

1a) \(\displaystyle{ t = x^2 (t \ge 0)}\)
1b) \(\displaystyle{ t = x^3}\)

W zadaniu nr 2 po przyrównaniu wielomianu do zera zauważ, że:

\(\displaystyle{ x^{3} + x^{2} = 2\sqrt{2} + 2}\)
\(\displaystyle{ x^{2} \cdot x + x^{2} = 2 \cdot \sqrt{2} + 2}\)

[jagielloma]

Czyli to wygląda tak:

a) \(\displaystyle{ W\left( x\right)= x^{4}-9x^{2}+14}\)

\(\displaystyle{ t= x^{2}}\)

\(\displaystyle{ W\left( x\right)= t^{2}-9t^{2}+14}\)

\(\displaystyle{ \Delta=81-56=25 \Rightarrow \sqrt{\Delta}=5}\)

\(\displaystyle{ x_{1}= \frac{9-5}{2}= \frac{4}{2}=2}\)

\(\displaystyle{ x_{2}= \frac{9+5}{2}= \frac{14}{2}=7}\)

\(\displaystyle{ odp.: W\left( x\right)=(x-2)(x-7)}\)

Czy to jest dobrze? Później tak samo postępuję z podpunktem b)?

W tym drugim zadaniu nic mi nie mówi ten warunek.

[Psiaczek]

\(\displaystyle{ odp.: W\left( x\right)=(x-2)(x-7)}\)

Czy to jest dobrze?

nie jest dobrze, bo nie panujesz nad oznaczeniami i zmieniasz litery jak ci się podoba.

\(\displaystyle{ W(x)=(x^2-2)(x^2-7)}\)

[jagielloma]

Faktycznie trochę pomieszałem. W zadaniu 1 b) wyszło mi tak:

\(\displaystyle{ W\left(x\right)= x^{6}-19x^{3}-216}\)

\(\displaystyle{ t= x^{3}}\)

\(\displaystyle{ W\left(t\right)= t^{2}-19t-216}\)

\(\displaystyle{ \Delta=361+864=1225 \Rightarrow \sqrt{\Delta}=35}\)

\(\displaystyle{ t_{1}= \frac{19+35}{2}= \frac{54}{2}=27}\)

\(\displaystyle{ t_{1}= \frac{19-35}{2}= \frac{-6}{2}=-3}\)

\(\displaystyle{ W\left(t\right)= (t-27)(t+3)}\)

\(\displaystyle{ Odp.: W\left(x\right)=(x^{3}-27)(x^{3}+3)}\)

Dobrze to jest?

[Psiaczek]

znów źle:błędnie wyznaczyłeś jeden z pierwiastków, ile naprawdę wynosi \(\displaystyle{ \frac{19-35}{2}}\) ?

[jagielloma]

Jakoś po tej przerwie świątecznej ciężko mi idzie.

Faktycznie to będzie \(\displaystyle{ -8}\) i tylko tam się zmieni z \(\displaystyle{ +3}\) na \(\displaystyle{ +8}\).

[Psiaczek]

tam się zmieni z \(\displaystyle{ +3}\) na \(\displaystyle{ +8}\).

jeszcze to rozkładać ze wzorów na \(\displaystyle{ a^3-b^3}\) oraz \(\displaystyle{ a^3+b^3}\)

\(\displaystyle{ x^3-27=x^3-3^3=(x-3)(x^2+3x+9)}\)

\(\displaystyle{ x^3+8=x^3+2^3=(x+2)(x^2-2x+4)}\)