Dzielenie wielomianów. Reszta o stopień niższa, czy...

[Gawroon7]

Witam,

Mam takie pytanie, tzn. w zeszycie mam napisane, że " Reszta z dzielenia wielomianów jest stopnia o jeden mniejszego niż dzielnik", a przecież to nie jest tak przypadkiem że może być maksymalnie o jeden stopień niższa, ale może być jescze niższa? Trochę gmatwam a więc niech stopień dzielnika = 3. A więc wtedy \(\displaystyle{ St(R(x)) \le 2}\) czy po prostu \(\displaystyle{ ]St(R(x)) = 2}\). Chyba to pierwsze bo gdy, \(\displaystyle{ a=0}\) to reszta jest stopnia pierwszego, gdy \(\displaystyle{ a i b = 0}\) to reszta stopnia zerowego..Właśnie tak myślę, a tu w zeszycie inaczej i nie wiem. Proszę o pomoc.

[mat_61]

Reszta z dzielenia wielomianów jest stopnia co najwyżej o jeden mniejszego niż dzielnik.

Jeżeli dzielnikiem jest np. wielomian stopnia trzeciego to reszta z dzielenia może być stopnia drugiego, pierwszego lub zerowego albo może być równa zero (czyli wielomiany mogą dzielić się bez reszty).

[TPB]

Stopień reszty, może być maksymalnie o jeden niższy niż stopień dzielnika. Na przykład przy dzieleniu przez trójmian kwadratowy, może się zdarzyć, że stopień reszty wynosi 0 lub 1. Albo nawet jest to wielomian zerowy (gdy dzieli się bez reszty, mówimy wtedy, że wielomiany są podzielne).

Więc myślisz bardzo dobrze i jesteś uważny.

Na poparcie tego, co oboje powiedzieliśmy w tym temacie rozważmy trzy przykłady:

I. \(\displaystyle{ (x^{3}+x^{2}+x+1):(x^{2}-2x+1)}\)
II. \(\displaystyle{ (x^{3}+x^{2}-5x+1):(x^{2}-2x+1)}\)
III. \(\displaystyle{ (x^{3}-3x^{2}+3x-1):(x^{2}-2x+1)}\)

W pierwszym przypadku reszta jest wielomianem stopnia pierwszego. W drugim jest to wielomian stopnia zero stale równy -2. W trzecim wielomiany dzielą się bez reszty, są zatem podzielne (co jest oczywiste po zastosowaniu wzorów skrócanego mnożenia).

Pozdrawiam i gratuluje spostrzegawczości.-- 31 gru 2011, o 08:03 --mat_61 mnie ubiegł

[Gawroon7]

Bardzo dziękuję za wyjaśnienie!

[Ares97]

muszę pobawić się w archeologa, ponieważ mam pytanie do wyżej wymienionego zagadnienia a mianowicie czy mogę jakoś określić stopień reszty, wiedząc, jedynie że np. \(\displaystyle{ W(2)=-3, W(-4)=-51, W(-1)=0, P(x)=x ^{3} -4 ^{2} -7x+10}\) bo wtedy mogą być być 3.opcje: reszta stopnia 0., reszta stopnia 1., reszta stopnia 2. Mogę na podstawie tych danych wykluczyć pozostałe opcje aby została tylko 1. możliwość co do stopnia reszty i nie liczyć reszty dla 3. przypadków?

[Kartezjusz]

Wielomian można zapisać w postaci
\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)P(x) +R(x)}\) przy czym
\(\displaystyle{ R(x)= a^{2} +bx +c}\) przy czym \(\displaystyle{ a, b, c}\)mogą być dowolymi liczbami. Także zerami

[Ares97]

już rozumiem, dzięki!