Wielomian - rozkład na czynniki

[Seu]

Rozłóż wielomian na czynniki:
Prosiłbym jednak krok po kroku, ponieważ chciałbym to zrozumieć. Jeśli to pomoże, podam rozwiązania.

a)\(\displaystyle{ x^{3}- 3x^{2}+3x-2=}\)

Rozwiązanie: \(\displaystyle{ (x-1)( x^{2}-x+1)}\)

b)\(\displaystyle{ x^{4} - 6x^{3} + 12x^{2}-9x+2=}\)

Rozwiązanie:\(\displaystyle{ (x-1)(x-2)( x^{2}-3x+1)}\)

c)\(\displaystyle{ x^{3}-3x^{2}+4}\)

Tutaj nie mam rozwiązania.

d)\(\displaystyle{ x^{4} - 4x^{3} +3x ^{2}+4x-4=}\)

jw.

Z góry bardzo dziękuję za wszelką pomoc. Będę wdzięczny za rozwiązania nawet pojedynczych przykładów.

[Mariusz M]

Ad a)
ze wzorów skróconego mnożenia

\(\displaystyle{ =\left( x-1\right)^3-1}\)

Ad b)

Tutaj też można ze wzorów skróconego mnożenia

\(\displaystyle{ x^{4} - 6x^{3} + 12x^{2}-9x+2=x^{4}-6x^{3}+9x^{2}+3x^{2}-9x+2\\
=\left( x^{2}-3x\right)^{2}-\left( -3x^{2}+9x-2\right)\\
=\left( x^{2}-3x+ \frac{y}{2} \right)^{2}-\left( \left( y-3\right)x^{2}-3\left( y-3\right)x+ \frac{y^{2}}{4} -2 \right)}\)

Można liczyć wyróżnik trójmianu a można zauważyć że dla \(\displaystyle{ y=3}\)
wpółczynniki przy \(\displaystyle{ x^{2}}\) oraz przy \(\displaystyle{ x}\)
się wyzerują i otrzymamy różnicę kwadratów


\(\displaystyle{ =\left( x^2-3x+ \frac{3}{2} \right)^2-\left( \frac{1}{2} \right)^2}\)

Ad c)

\(\displaystyle{ W\left( -1\right)=0}\)


Ad d)

ze wzorów skróconego mnożenia

\(\displaystyle{ =x^4-4x^3+4x^2-x^2+4x-4\\
=\left( x^2-2x\right)^2-\left( x-2\right)^2\\}\)

[Seu]

Chyba czegoś nie rozumiem... Pomiędzy Twoimi rozwiązaniami są znaki dodawania/odejmowania, ale przecież skoro miał być rozkład na czynniki, to wszędzie musi być mnożenie. Tak, jak w rozwiązaniach.

[Psiaczek]

Chyba czegoś nie rozumiem...

pewnie mariuszm uważał,że pokazał ci najważniejszy krok, a dalej dasz sobie radę samodzielnie, przykładowo ostatnie:

\(\displaystyle{ (x^2-2x)^2-(x-2)^2=(x^2-2x-(x-2))(x^2-2x+(x-2))=(x^2-3x+2)(x^2-x-2)=(*)(x-1)(x-2)(x+1)(x-2)}\)


przy czym te trójmiany przed \(\displaystyle{ (*)}\) też można tym sposobem:

\(\displaystyle{ x^2-x-2=\left( x^2-x+ \frac{1}{4}\right) - \frac{9}{4} =\left( x- \frac{1}{2} \right) ^2-\left( \frac{3}{2} \right) ^2=\left( x- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \right) \left( x- \frac{1}{2} -\frac{3}{2} \right)=(x+1)(x-2)}\)