Wartości parametrów, aby wielomian był podzielny przez...

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
oskar11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 97
Rejestracja: 17 lip 2011, o 22:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lubelskie
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1 raz

Wartości parametrów, aby wielomian był podzielny przez...

Post autor: oskar11 »

Witam!

Mam pewne pytania co do zadań typu: "Dla jakich wartości parametrów a, b reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x) jest równa R(x), gdy...".

Czyli innymi słowy tylko dla konkretnych a, b reszta z dzielenia może być zapisana w postaci jakiegoś wielomianu stopnia niższego od P(x), ale jak to sprawdzić, że dla innych byłaby fałszywa?

Chodzi mi głównie o to, że pomimo, że rozwiązuję zadania nie do końca "czuję" to, co robię, a wolałbym unikać bezmyślności.


Jeżeli w danych zadania mam podana resztę z dzielenia, a wielomian P(x) ma pierwiastki to rozbijam go na postać iloczynową i liczę \(\displaystyle{ W(x_{1}}, W_{x_{2}})}\) i analogicznie te same x-y podstawiam pod wyrażenie R(x), czyli najczęściej 2 równania, 2 parametry i to wszystko?

Co jednak, gdy nie mam reszty z dzielenia. Jedyna metoda to normalne pisemne dzielenie wielomianów?

Zadanie: "Dla jakich wartości parametrów a,b wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian P(x), jeśli":

Np. taki podpunkt:
\(\displaystyle{ W(x)=2x^3-ax^2+bx+15, P(x)=x^2+2x-3}\)

Akurat tutaj jeszcze P(x) można łatwo zwinąć, ale dajmy na to tutaj:

\(\displaystyle{ W(x)=x^4-2x^3+ax^2-3x+b, P(x)=x^2-3x+3}\)

\(\displaystyle{ \begin{array}{lll}(x^4-2x^3+ax^2-3x+b) & : & (x^2-3x+3) = x^2+x+a\\ \underline{-x^4+3x^3-3x^2} & & \\ \qquad x^3-3x^2+ax^2-3x+b & & \\ \qquad \ \ \underline{-x^3+3x^2-3x} & &\\ \qquad \qquad \qquad ax^2-6x+b & & \\ \qquad \qquad \quad \underline{-ax^2-3ax-3a} \end{array}}\)

Tutaj niestety utknąłem i właśnie kolejne pytanie, bo skoro ma być podzielny, to reszta powinna być zero i wtedy otrzymam wielomian \(\displaystyle{ Q(x)}\), tak? Tylko co dalej?

Z góry dziękuję za pomoc.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Wartości parametrów, aby wielomian był podzielny przez...

Post autor: piasek101 »

Reszta ma być wielomianem zerowym - czyli wszystkie współczynniki liczbowe mają być zerowe (taki wierszyk).
irena_1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 496
Rejestracja: 24 sie 2010, o 09:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Pomógł: 122 razy

Wartości parametrów, aby wielomian był podzielny przez...

Post autor: irena_1 »

Można tak:
\(\displaystyle{ W(x)=x^4-2x^3+ax^2-3x+b=(x^2-3x+3)(x^2+px+q)=\\=x^4+(p-3)x^3+(q-3p+3)x^2+(3p-3q)x+3q}\)

Z równości wielomianów:

\(\displaystyle{ \begin{cases} p-3=-2\\q-3p+3=a\\-3q+3p=-3\\3q=b\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ p=1\\-3q+3=-3\\-3q=-6\\q=2\\2-3+3=a\\}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=2 \\ b=6 \end{cases}}\)
oskar11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 97
Rejestracja: 17 lip 2011, o 22:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lubelskie
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1 raz

Wartości parametrów, aby wielomian był podzielny przez...

Post autor: oskar11 »

Powyższy sposób ciekawy, acz nie miałem z nim styczności.
Czy mogłaby Pani nieco bardziej wyjaśnić ten oto zapis:
\(\displaystyle{ W(x)=x^4-2x^3+ax^2-3x+b=(x^2-3x+3)(x^2+px+q)}\)

Mimo wszystko ze zwykłego dzielenia wielomianów też powinno wyjść, ale niezbyt mi to idzie.

Dochodzę do postaci -6x+3ax-3a+b.

Chociaż po poleceniu wnioskuję, że może podejść do tego tak, że gdy ta reszta przyjmie wartość równą zero, to wtedy będę miał rozwiązanie i faktycznie widząc już powyższe wyniki taką wartość przyjmuje, z tymże jak do tego dojść, jeśli mam tu aż trzy niewiadome.
irena_1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 496
Rejestracja: 24 sie 2010, o 09:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Pomógł: 122 razy

Wartości parametrów, aby wielomian był podzielny przez...

Post autor: irena_1 »

No, i dobrze- reszta, którą otrzymujesz:
\(\displaystyle{ -6x+3ax-3a+b}\)
musi być wielomianem zerowym, czyli:
\(\displaystyle{ \{-6+3a=0\\b-3a=0}\)
ODPOWIEDZ