Ekstremum wielomianu bez użycia pochodnych

[jamboree]

Witam. Mam dosyć poważny problem z wyznaczeniem ekstremum lokalnego pewnej funkcji, weźmy np. \(\displaystyle{ f(x)=x(x-9) ^{2}}\) w przedziale \(\displaystyle{ x \in \left\langle 0;9\right\rangle}\). Wszystko byłoby w porządku gdyby nie fakt, że rachunku różniczkowego użyć tutaj nie mogę. Zauważyłem, że w zależności od stopnia wielomianu, ekstremum lokalne wielomianów tego typu odpowiednio zmienia się między miejscami zerowymi. W tym przypadku będzie występowało w \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) 2 miejsca zerowego. Jeśli rzeczywiście taka zależność występuje, jak można ją w miarę przyzwoicie udowodnić.
Byłbym wdzięczny za pomoc
Pozdrawiam

[marcinz]

\(\displaystyle{ x(x-9)^2=x(9-x)^2=\frac{1}{2}\cdot 2 x(9-x)(9-x) \le \frac{1}{2}(\frac{2x+9-x+9-x}{3})^3=\frac{1}{2}6^3}\). Równość zachodzi, gdy \(\displaystyle{ 2x=9-x,x=3}\).