Wartości parametrów

Joasia1414 · Post autor: **Joasia1414** » 1 lut 2007, o 20:36

Dla jakich wartości parametrów a,b,c liczba r jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x), jeśli:

\(\displaystyle{ W(x)= x^{5}-3x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx-1, r=1?}\)

grzegorz87 · Post autor: **grzegorz87** » 1 lut 2007, o 20:59

Proponuje 3 razy dzielić przez (x-1), a potem otrzymane reszty do układu równań i przyrównać do 0.

\(\displaystyle{ (x^{5}-3x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx-1):(x-1)=[x^{4}-2x^{3}+(a-2)x^{2}+(a+b-2)x+(a+b+c-2) ]+(a+b+c-3)}\)
drugie dzielenie:
\(\displaystyle{ (x^{4}-2x^{3}+(a-2)x^{2}+(a+b-2)x+a+b+c-2):(x-1)=[x^{3}-x^{2}+(a-3)x+2a+b-5]+3a+2b+c-8}\)
trzecie dzielenie:
\(\displaystyle{ (x^{3}-x^{2}+(a-3)x+2a+b-5):(x-1)=[x^{2}+a-3]+(3a+b-8)}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}a+b+c-3=0\\3a+2b+c-8=0\\3a+b-8=0\end{array}}\)
nie wiem czy sie gdzieś nie pomyliłem w obliczeniach.

Tristan · Post autor: **Tristan** » 1 lut 2007, o 21:09

Można również skorzysta z twierdzenia, które orzeka, że liczba \(\displaystyle{ r}\) jest pierwiastkiem k-krotnym wielomianu \(\displaystyle{ W}\), wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ W(r)= W'(r)=W''(r)= ... = W^{(k-1)} (r)=0 W^{(k)} 0}\).
Również dostaniemy układ równań, taki sam, jak napisał grzegorz87 ( poza drobnym błędem, tj. w drugiej linijce układu powinno być \(\displaystyle{ 3a+2b+c-8=0}\)). Jego rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ a=3 b=-1 c=1}\), co kończy rozwiązywanie zadania.

grzegorz87 · Post autor: **grzegorz87** » 1 lut 2007, o 21:18

Już poprawiłem

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 1 lut 2007, o 22:04

a nie można by tak W(1)=0
i tylko 2 razy dzielić?

Tristan · Post autor: **Tristan** » 1 lut 2007, o 22:11

Też można. Chodzi o to, by mieć trzy równania, bo mamy trzy niewiadome. Metody, dzięki którym dojdziemy do otrzymania tych równań mogą być przeróżne

Joasia1414 · Post autor: **Joasia1414** » 1 lut 2007, o 22:58

DO TRISTIANA jak z tego twierdzenia wykombinować 3 równania i obliczyć to a,b, c?? Pomyslałam że może \(\displaystyle{ (x-1)^{3}}\) i z tego wyjdzie \(\displaystyle{ x^{3}-3x^{2}+3x-1}\) i co dalej??

Tristan · Post autor: **Tristan** » 1 lut 2007, o 23:05

\(\displaystyle{ W(x)=x^5 -3x^4 +ax^3 +bx^2 +cx-1 \\ W'(x)= 5x^4 -12x^3 +3ax^2 +2bx+c \\ W''(x)=20x^3 -36x^2 +6ax+2b \\}\)
Z twierdzenia wynika, że \(\displaystyle{ W(1)=W'(1)=W''(1)=0}\), skąd właśnie otrzymujemy trzy równania, tj:
\(\displaystyle{ 1-3+a+b+c-1=0 5-12+3a+2b+c=0 20-36+6a+2b=0}\)

Joasia1414 · Post autor: **Joasia1414** » 1 lut 2007, o 23:24

nie rozumię skąd sie wziął W'(x) i W''(x) Skąd to wytrzasnąc. Podzielić pomnożyć dodać??? Co zrobić żeby to otrzymać??

Tristan · Post autor: **Tristan** » 1 lut 2007, o 23:28

Cóż, widocznie nie miałaś jeszcze pochodnych, więc zrozumiałe jest, że nie wiesz czym są te "primy". Jeśli masz ochotę się dowiedzieć czegoś na temat pochodnych i ogólnie rachunku różnioczkowego, to zajrzyj w google.

Joasia1414 · Post autor: **Joasia1414** » 1 lut 2007, o 23:31

OK dzieki za pomoc. Tylko dalej nie wiem jak to ma być. Ale popróbuję - metoda prób i błędów dojśc do tego. Dzieki