Wielomian - rozkład i pierwiastki

Seu · Post autor: **Seu** » 27 gru 2011, o 15:50

W poniższym przykładzie próbując rozłożyć wielomian na czynniki, zawsze zostaje mi znak \(\displaystyle{ +}\) pomiędzy jednomianami, a chcąc wyznaczyć pierwiastki wszędzie musi być przecież mnożenie.

\(\displaystyle{ w(x)=x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+4x-4=}\)

Najsensowniejsze, do czego udało mi się wielomian doprowadzić i tak miało plusik w środku: \(\displaystyle{ x^{2} ( x^{2}+2x+3)+4(x-1)}\)

Post autor: **loitzl9006** » 27 gru 2011, o 15:53

To może na początku skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ w(x)}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ \left( x+2 \right)}\)

Seu · Post autor: **Seu** » 27 gru 2011, o 15:58

Hm... zadanie jest w dziale "Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów.", więc nie sądziłem, że wymagane będzie jego podzielenie. Tym bardziej, że tego robić jeszcze nie umiem. Na pewno nie ma innego sposobu?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 27 gru 2011, o 17:02

Istnieje podejrzenie literówki w tym co podałeś (bo jeden z pierwiastków jest ,,brzydki").

\(\displaystyle{ W(x)=x^3(x+2)+2x(x+2)+(x-2)(x+2)}\)

Seu · Post autor: **Seu** » 27 gru 2011, o 17:14

Nie, nie ma literówki. Proszę:

A to, co napisałeś nie pozwala przecież na wyciągnięcie pierwiastków. Czy może to ja nie potrafię?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 27 gru 2011, o 17:18

No i zadanie nie wymaga żadnego rozkładania.

Liczba \(\displaystyle{ (a)}\) jest pierwiastkiem gdy \(\displaystyle{ W(a)=0}\).

Seu · Post autor: **Seu** » 27 gru 2011, o 17:22

Czyli wystarczy kolejno podstawiać cyfry z odpowiedzi i wyliczać, póki nie wyjdzie nam 0? No dobra ;]

Post autor: **loitzl9006** » 27 gru 2011, o 17:45

Ogólnie metoda pozwalająca na znalezienie wszystkich liczb "podejrzanych" o bycie wymiernym pierwiastkiem wielomianu jest następująca:

Wypisujemy wszystkie dzielniki wyrazu wolnego czyli \(\displaystyle{ -4}\). Tworzą one pewien zbiór \(\displaystyle{ p}\).

\(\displaystyle{ p = \left\{ 1,2,4,-1,-2,-4 \right\}}\)

Wypisujemy wszystkie dzielniki wyrazu stojącego przy najwyższej potędze wielomianu, które tworzą zbiór \(\displaystyle{ q}\). Ponieważ przy \(\displaystyle{ x ^{4}}\) stoi \(\displaystyle{ 1}\) , to

\(\displaystyle{ q = \left\{ 1, -1 \right\}}\)

Liczbą podejrzaną o bycie wymiernym pierwiastkiem wielomianu jest każda kombinacja \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) (dowolny element zbioru \(\displaystyle{ p}\) podzielony przez dowolny element zbioru \(\displaystyle{ q}\) ). Jeżeli po podstawieniu za \(\displaystyle{ x}\) jakiejś kombinacji \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) otrzymamy \(\displaystyle{ 0=0}\) to znak, że ta kombinacja jest wymiernym pierwiastkiem wielomianu.