Dzielenie wielomianów

[Disnejx86]

Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez trójmian \(\displaystyle{ P(x)=x^{2}+2x-3}\) jest równa \(\displaystyle{ R(x)=2x+5}\). Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez dwumian: \(\displaystyle{ (x-1)}\). Trójmian można przedstawić jako: \(\displaystyle{ (x+3)(x-1)}\) - no ale co dalej? Proszę o pomoc.

[ares41]

\(\displaystyle{ W(x)=V(x)(x-1)+r \\ W(x)=Q(x)P(x)+R(x)}\)
Policz \(\displaystyle{ W(1)}\) na dwa sposoby.

[Disnejx86]

Nie rozumiem tego zapisu z góry. Do tego mi się udało dojść:

\(\displaystyle{ \frac{W(x)}{(x+3)(x-1)}=Q(x)+2x+5}\)

\(\displaystyle{ W(1)=Q(1) \cdot (-1+3)(1-1) \ [\mbox{Tu będzie 0 tak?}] \ +2 \cdot 1+ 5}\)
Czyli reszta to \(\displaystyle{ 7}\) ?

[ares41]

Zapis rozwiązania fatalny.

Nie rozumiem tego zapisu z góry.

Wielomian przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ (x-1)}\) daje resztę \(\displaystyle{ r}\), zatem :

\(\displaystyle{ W(x)=V(x)(x-1)+r}\)

Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez trójmian \(\displaystyle{ P(x)}\) jest równa \(\displaystyle{ R(x)}\),czyli
\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)P(x)+R(x)}\)

Licząc \(\displaystyle{ W(1)}\)otrzymujemy
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(1)=r \\ W(1)=R(1) \end{cases}}\)
Czyli \(\displaystyle{ R(1)=r}\)
Zatem \(\displaystyle{ r=2 \cdot 1+ 5=7}\)

[Disnejx86]

Mój sposób był trochę podobny do tego z OE Pazdro, no ale dzięki.

[ares41]

\(\displaystyle{ \frac{W(x)}{(x+3)(x-1)}=Q(x)+2x+5}\)

To jest zupełnie niepoprawne. Przecież po pomnożeniu "na krzyż" otrzymujemy
\(\displaystyle{ W \left( x \right) = \left[ Q \left( x \right) +2x+5 \right] \left( x+3 \right) \left( x-1 \right)}\)
a to nijak ma się do naszego zadania.

Poprawnym byłoby zapisanie
\(\displaystyle{ W(x)=(x+3)(x-1)Q(x)+2x+5}\)
i wtedy możesz od razu liczyć \(\displaystyle{ W(1)}\)

[Disnejx86]

Poprawnym byłoby zapisanie
\(\displaystyle{ W(x)=(x+3)(x-1)Q(x)+2x+5}\)
i wtedy możesz od razu liczyć \(\displaystyle{ W(1)}\)

Ja tak właśnie robiłem!, ale chciałem pokazać że \(\displaystyle{ W(x)}\) podzielono przez \(\displaystyle{ P(x)}\) dostano jakiś iloczyn \(\displaystyle{ Q(x)}\) oraz \(\displaystyle{ R(x)}\) gdzie reszta to: \(\displaystyle{ 2x+5}\)
Tak jest dobrze, czy niepotrzebnie to pisałem?

[ares41]

Niepoprawny jest zapis

\(\displaystyle{ \frac{W(x)}{(x+3)(x-1)}=Q(x)+2x+5}\)

bo z niego wynika, że \(\displaystyle{ R(x)=(2x+5)(x+3)(x-1)}\) a przecież to jest sprzeczne z treścią zadania.

[Disnejx86]

aaa bo reszty nie mnożymy, to moment: to jest poprawne w takim razie?

\(\displaystyle{ \frac{W(x)}{(x+3)(x-1)}=Q(x)+ \frac{2x+5}{(x+3)(x-1)}}\)
I teraz od razu trzeba pomnożyć przez \(\displaystyle{ (x+3)(x-1)}\) no i dostaniemy: \(\displaystyle{ W(x)=Q(x) \cdot (x+3)(x-1) + 2x+5}\) i obliczamy W(1) (Bo dzielimy przez dwumian (x-1)), tak?

[ares41]

Przydałyby się jakieś założenie co do mianownika Ale wtedy traci sens obliczanie wartości \(\displaystyle{ W(1)}\) - dlaczego ?

Zapisujemy od razu \(\displaystyle{ W(x)=(x+3)(x-1)Q(x)+2x+5}\)

[Disnejx86]

Bo nie wolno dziecić przez zero-ok dzięki.

Jeszcze mam jeden przykład: Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=x^{4}+2x^{2}-3}\) jest wielomianem \(\displaystyle{ R(x)=x^{3}-2x^{2}+x+2}\). Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez \(\displaystyle{ F(x)=x^{2}-1}\).

\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)\cdot (x^{4}+2x^{2}-3) + x^{3}-2x^{2}+x+2}\) no ale tego za bardzo nie umiem zrobić bo nie było twierdzenia o dzieleniu przez trójmian, no więc co z tym?

[ares41]

277246.htm