Rozkład wielomianu na czynniki

[szuda89]

Zadanie z podręcznika do matematyki z poprzednich lat, z którym nie mogę sobie poradzić. Jest to moja pierwsza wizyta tutaj i bardzo proszę o pomoc. Jeśli to możliwe, to proszę także o odsyłacz lub wskazówkę, a nie samo rozwiązanie.

Rozłóż wielomian na czynniki:
\(\displaystyle{ w\left( x\right) = x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} - 2x - 2}\)

Z góry dziękuję za zainteresowanie.

[szw1710]

Chcesz wskazówki - pogrupuj wyrazy.

Ukryta treść:    

Odp. \(\displaystyle{ \left( x-1\right) \,{\left( x+1\right) }^{2}\,\left( {x}^{2}+2\right)}\)
Komenda programu Maxima: factor(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 - 2*x - 2);

[szuda89]

To dla mnie kłopotliwe, bo zadanie jest pewnie bardzo proste i miałem odpowiedź już wcześniej. Nie wiem jednak, jak do niego doprowadzić. Po pogrupowaniu wyrazów (obydwoma sposobami) otrzymuję:

\(\displaystyle{ \left(x + 1\right)\left(x^{4} + x^{2} - 2\right)}\)

...i w tym momencie się zatrzymuję. Nie widzę, co jeszcze mógłbym zrobić i jak dokładnie to rozwiązać. Nie jest to zadanie domowe, ani na zajęcia, ale troszkę różni się od innych i męczy mnie za każdym razem, gdy na nie spoglądam. Przepraszam także za błędy początkującego - ułomną znajomość LaTeX-a i źle nazwany temat. Czekam na odpowiedź.

[Jan Kraszewski]

No to musisz rozłożyć \(\displaystyle{ x^4+x^2-2}\). Robisz podstawienie \(\displaystyle{ t=x^2}\), dostajesz \(\displaystyle{ t^2+t-2}\), rozkładasz ten trójmian (postać iloczynowa), robisz podstawienie powrotne itd.

JK

[Psiaczek]

Pożyteczne będzie też poznanie sztuczki umożliwiającej ponowne grupowanie:

\(\displaystyle{ x^4+x^2-2=x^4-x^2+2x^2-2=x^2(x^2-1)+2(x^2-1)=(x^2-1)(x^2+2)}\)

a tu już ze wzoru skróconego mnożenia \(\displaystyle{ (x^2-1)=(x-1)(x+1)}\)

Drugi czynnik \(\displaystyle{ x^2+2}\) w liczbach rzeczywistych dalej się nie rozkłada.

[Mariusz M]

Jeżeli chodzi o równanie

\(\displaystyle{ x^{4}+x^{2}-2}\)

to można też pobawić się wzorami skróconego mnożenia

Najpiew uzupełniamy do kwadratu później korzystamy z różnicy kwadratów