Wyznaczanie współczynników układu równań stopnia trzeciego

wielblad · Post autor: **wielblad** » 21 gru 2011, o 18:36

Witam,

W trakcie aproksymacji danej funkcji, muszę sporządzić algorytm obliczanie takiej funkcji aproksymującej.
Temat sprowadza się do rozwiązania takiego układu:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} ax_{1}^{3}+bx_{1}^{2}+cx_{1}+d=y_{1}\\ax_{2}^{3}+bx_{2}^{2}+cx_{2}+d=y_{2}\\ax_{3}^{3}+bx_{3}^{2}+cx_{3}+d=y_{3}\\ax_{4}^{3}+bx_{4}^{2}+cx_{4}+d=y_{4}\end{array}}\)

Dane są punkty : \(\displaystyle{ (x_{1}, y_{1}); (x_{2}, y_{2}); (x_{3}, y_{3}) i (x_{4}, y_{4})}\)

Potrzebuję wyznaczyć a, b, c oraz d

Serdeczenie z góry dziękuję za wszelką pomoc.

Pozdrawiam.

octahedron · Post autor: **octahedron** » 21 gru 2011, o 18:55

Mamy cztery niewiadome, więc potrzeba czterech równań.

wielblad · Post autor: **wielblad** » 21 gru 2011, o 19:14

EDIT: poprawione.

octahedron · Post autor: **octahedron** » 21 gru 2011, o 20:49

Ale w sumie w czym problem? To zwykły układ równań, można to policzyć np. wyznacznikami. Albo od razu na podstawie punktów ułożyć wzór funkcji, korzystając z wielomianów Lagrange'a:

\(\displaystyle{ f(x)=y_1\cdot\frac{(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_1-x_4)}+y_2\cdot\frac{(x-x_1)(x-x_3)(x-x_4)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)(x_2-x_4)}+\\+y_3\cdot\frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_4)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)(x_3-x_4)}}\)

wielblad · Post autor: **wielblad** » 21 gru 2011, o 21:38

mógłbyś objaśnić jak otrzymać zależności na a,b,c i d ?? dzieki

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 21 gru 2011, o 21:48

Najprościej zastosować wzór Newtona: wprowadzenie 269333.htm oraz 269340.htm i właściwy wzór 269342.htm

octahedron · Post autor: **octahedron** » 21 gru 2011, o 22:34

wielblad pisze:mógłbyś objaśnić jak otrzymać zależności na a,b,c i d ?? dzieki

Trzeba powymnażać te nawiasy i pogrupować wyrazy podobne.