Wyznacz reszte z dzielenia wielomianu

[piotrek2703]

Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=x^{4}+2x^{2}-3}\) jest wielomianem \(\displaystyle{ R(x)=x^{3}-2x^{2}+x+2}\). Wyznacz reszte z dzielenia tego wielomianu przez wielomian \(\displaystyle{ F(x)=x^{2}-1}\)


Moglby ktos objasnic jak sie do tego zabrac od samego poczatku? Bede bardzo wdzieczny!

[ares41]

\(\displaystyle{ \begin{cases} W \left( x \right) =V \left( x \right) P \left( x \right) +R \left( x \right) \\ W \left( x \right) =Q \left( x \right) F \left( x \right) +R_1 \left( x \right) \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ F(x)=x^{2}-1=(x-1)(x+1) \\ \\ \deg F(x)=2 \Rightarrow \deg R_1(x) \le 1 \\ R_1(x)=ax+b\;,\;\;\text{ dla }\ a,b \in \mathbb{R}}\)

Policz \(\displaystyle{ W(-1) \text{ i } W(1)}\) na dwa sposoby ( raz z pierwszego, a drugi raz z drugiego wzoru z powyższego układu ).

[Psiaczek]

Zapisujesz dzielenie z reszta:

\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)(x^4+2x^2-3)+R(x)}\)

tu można zauważyć że \(\displaystyle{ x^4+2x^2-3=(x^2-1)(x^2+3)}\)

zatem:

\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)(x^2-1)(x^2+3)+R(x)}\)

podstawiając kolejno \(\displaystyle{ x=-1,x=1}\) otrzymasz

\(\displaystyle{ W(-1)=R(-1)=-2}\)

\(\displaystyle{ W(1)=R(1)=2}\)

teraz zapisujesz drugie dzielenie z resztą

\(\displaystyle{ W(x)=S(x)(x^2-1)+ax+b}\)

podstawiasz znów \(\displaystyle{ x=-1, x=1}\) bo masz już znalezione wcześniej wartości \(\displaystyle{ W(-1),W(1)}\) i otrzymujesz

układ \(\displaystyle{ -2=-a+b,2=a+b}\) którego rozwiązaniem są \(\displaystyle{ a=2,b=0}\)

Szukana reszta to \(\displaystyle{ 2x}\)