Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=x^{4}+2x^{2}-3}\) jest wielomianem \(\displaystyle{ R(x)=x^{3}-2x^{2}+x+2}\). Wyznacz reszte z dzielenia tego wielomianu przez wielomian \(\displaystyle{ F(x)=x^{2}-1}\)
Moglby ktos objasnic jak sie do tego zabrac od samego poczatku? Bede bardzo wdzieczny!
Wyznacz reszte z dzielenia wielomianu
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 30 paź 2011, o 12:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kozienice
- ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
Wyznacz reszte z dzielenia wielomianu
\(\displaystyle{ \begin{cases} W \left( x \right) =V \left( x \right) P \left( x \right) +R \left( x \right) \\ W \left( x \right) =Q \left( x \right) F \left( x \right) +R_1 \left( x \right) \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ F(x)=x^{2}-1=(x-1)(x+1) \\ \\ \deg F(x)=2 \Rightarrow \deg R_1(x) \le 1 \\ R_1(x)=ax+b\;,\;\;\text{ dla }\ a,b \in \mathbb{R}}\)
Policz \(\displaystyle{ W(-1) \text{ i } W(1)}\) na dwa sposoby ( raz z pierwszego, a drugi raz z drugiego wzoru z powyższego układu ).
\(\displaystyle{ F(x)=x^{2}-1=(x-1)(x+1) \\ \\ \deg F(x)=2 \Rightarrow \deg R_1(x) \le 1 \\ R_1(x)=ax+b\;,\;\;\text{ dla }\ a,b \in \mathbb{R}}\)
Policz \(\displaystyle{ W(-1) \text{ i } W(1)}\) na dwa sposoby ( raz z pierwszego, a drugi raz z drugiego wzoru z powyższego układu ).
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Wyznacz reszte z dzielenia wielomianu
Zapisujesz dzielenie z reszta:
\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)(x^4+2x^2-3)+R(x)}\)
tu można zauważyć że \(\displaystyle{ x^4+2x^2-3=(x^2-1)(x^2+3)}\)
zatem:
\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)(x^2-1)(x^2+3)+R(x)}\)
podstawiając kolejno \(\displaystyle{ x=-1,x=1}\) otrzymasz
\(\displaystyle{ W(-1)=R(-1)=-2}\)
\(\displaystyle{ W(1)=R(1)=2}\)
teraz zapisujesz drugie dzielenie z resztą
\(\displaystyle{ W(x)=S(x)(x^2-1)+ax+b}\)
podstawiasz znów \(\displaystyle{ x=-1, x=1}\) bo masz już znalezione wcześniej wartości \(\displaystyle{ W(-1),W(1)}\) i otrzymujesz
układ \(\displaystyle{ -2=-a+b,2=a+b}\) którego rozwiązaniem są \(\displaystyle{ a=2,b=0}\)
Szukana reszta to \(\displaystyle{ 2x}\)
\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)(x^4+2x^2-3)+R(x)}\)
tu można zauważyć że \(\displaystyle{ x^4+2x^2-3=(x^2-1)(x^2+3)}\)
zatem:
\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)(x^2-1)(x^2+3)+R(x)}\)
podstawiając kolejno \(\displaystyle{ x=-1,x=1}\) otrzymasz
\(\displaystyle{ W(-1)=R(-1)=-2}\)
\(\displaystyle{ W(1)=R(1)=2}\)
teraz zapisujesz drugie dzielenie z resztą
\(\displaystyle{ W(x)=S(x)(x^2-1)+ax+b}\)
podstawiasz znów \(\displaystyle{ x=-1, x=1}\) bo masz już znalezione wcześniej wartości \(\displaystyle{ W(-1),W(1)}\) i otrzymujesz
układ \(\displaystyle{ -2=-a+b,2=a+b}\) którego rozwiązaniem są \(\displaystyle{ a=2,b=0}\)
Szukana reszta to \(\displaystyle{ 2x}\)