Równanie wielomianowe 3 stopnia z parametrem.

qwela · Post autor: **qwela** » 18 gru 2011, o 10:26

Witam mam problem z rozwiązaniem zadania :
Jeden z pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ 3x ^{3}+ax ^{2}+bx+12 \wedge a,b \in C}\)
jest \(\displaystyle{ 1+ \sqrt{3}}\)
Znajdź a i b.

Errichto · Post autor: **Errichto** » 18 gru 2011, o 10:30

Schemat Hornera

qwela · Post autor: **qwela** » 18 gru 2011, o 11:44

przy dzieleniu przez dwumian \(\displaystyle{ \left( x- \sqrt{3}-1 \right)}\) wychodzi 1 równanie z dwoma niewiadomymi więc samo dzielenie nic nie daje. Wydaje mi się, że trzeba jeszcze skorzystać z wiedzy o tym, że współczynniki są całkowite. Ale nie wiem w jaki sposób dokładnie. Może jeszcze są jakieś pomysły ?

Psiaczek · Post autor: **Psiaczek** » 18 gru 2011, o 12:12

Byłbyś tak miły i nie zmieniał wspołczynników tego wielomianu?
dla tego który jest obecnie dostajesz taki warunek:

\(\displaystyle{ a=b\left( \frac{1}{2}- \frac{ \sqrt{3} }{2} \right) +3 \sqrt{3} -15}\)

Jeśli \(\displaystyle{ b}\) przebiega liczby całkowite, to \(\displaystyle{ a}\) będzie całkowite tylko wtedy gdy zredukuje się część z pierwiastkami, to jest możliwe jedynie gdy \(\displaystyle{ b=6}\) i otrzymujemy wtedy \(\displaystyle{ a=-12}\)

qwela · Post autor: **qwela** » 18 gru 2011, o 12:45

No tak rzeczywiście, że też ja sam na to nie wpadłem. Dziękuję za pomoc.
P.S.. Zmiana współczynnika wynikała ze złego przepisania przykładu.