Rozwiąż nierówność \(\displaystyle{ W(W(x)) q x^2-x+37}\) wiedząc że \(\displaystyle{ W(x)= x^2-x+1}\)
proszę o pomoc to naprawę trudne zadanko- JAK DLA MNIE
Ciekawe zadanie ze złożeniem wielomianu
-
Joasia1414
- Użytkownik
- Posty: 40
- Rejestracja: 2 cze 2006, o 08:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Matematyczno
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 1 raz
Ciekawe zadanie ze złożeniem wielomianu
Ostatnio zmieniony 31 sty 2007, o 20:12 przez Joasia1414, łącznie zmieniany 2 razy.
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Ciekawe zadanie ze złożeniem wielomianu
Radzę zapoznać się z regulaminem i LaTeX-em.
\(\displaystyle{ W(W(x)) \geq x^2 - x+ 37 \\ W^2 (x) - W(x) +1 \geq x^2 -x + 37 \\ (x^2 -x+1)^2 - (x^2 -x+1) \geq x^2 -x + 36 \\ x^4 +x^2 +1 -2x^3 +2x^2 -2x-x^2+x-1 \geq x^2 -x+ 36 \\ x^4 - 2x^3+x^2 - 36 \geq 0}\)
Na podstawie twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych sprawdzamy dzielniki liczby 36 i otrzymujemy stąd dwa pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ x^2 -2x^3 +x^2 - 36}\), mianowicie \(\displaystyle{ x_{0}=-2, x_{1}=3}\). Dzielimy więc nasz wielomian przez \(\displaystyle{ (x+2)(x-3)}\) i otrzymujemy taki rozkład \(\displaystyle{ x^4 -2x^3 +x^2 -36=(x+2)(x-3)(x^2 -x+6)}\). Ponieważ dla każdego rzeczywistego x nierówność \(\displaystyle{ x^2 -x+6 \geq 0}\) jest prawdzwa, więc nasza nierówność \(\displaystyle{ x^4 -2x^3 +x^2 - 36 \geq 0}\) jest równoważna następującej \(\displaystyle{ (x+2)(x-3) \geq 0}\). Rozwiązaniem ostatniej nierówności, która jest równoważna z tą postawioną w zadaniu, jest \(\displaystyle{ x \in (- \infty; -2> \cup )}\).
\(\displaystyle{ W(W(x)) \geq x^2 - x+ 37 \\ W^2 (x) - W(x) +1 \geq x^2 -x + 37 \\ (x^2 -x+1)^2 - (x^2 -x+1) \geq x^2 -x + 36 \\ x^4 +x^2 +1 -2x^3 +2x^2 -2x-x^2+x-1 \geq x^2 -x+ 36 \\ x^4 - 2x^3+x^2 - 36 \geq 0}\)
Na podstawie twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych sprawdzamy dzielniki liczby 36 i otrzymujemy stąd dwa pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ x^2 -2x^3 +x^2 - 36}\), mianowicie \(\displaystyle{ x_{0}=-2, x_{1}=3}\). Dzielimy więc nasz wielomian przez \(\displaystyle{ (x+2)(x-3)}\) i otrzymujemy taki rozkład \(\displaystyle{ x^4 -2x^3 +x^2 -36=(x+2)(x-3)(x^2 -x+6)}\). Ponieważ dla każdego rzeczywistego x nierówność \(\displaystyle{ x^2 -x+6 \geq 0}\) jest prawdzwa, więc nasza nierówność \(\displaystyle{ x^4 -2x^3 +x^2 - 36 \geq 0}\) jest równoważna następującej \(\displaystyle{ (x+2)(x-3) \geq 0}\). Rozwiązaniem ostatniej nierówności, która jest równoważna z tą postawioną w zadaniu, jest \(\displaystyle{ x \in (- \infty; -2> \cup )}\).