Rozkład wielomianu

mallio · Post autor: **mallio** » 16 gru 2011, o 20:13

Może ktoś pomoże mi rozłożyć ten wielomian.

Ma aż 5 liczb , a ja do 4 sobie radzę
Może ktoś zna jakieś wzory, albo szybkie sposoby na rozłożenie tego wielomianu.
Za udzielenie pomocy dziękuję.

\(\displaystyle{ 4x^4 - 4x^3 - 9x^2 + x + 2}\)

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 16 gru 2011, o 20:21

Raczej powinno być: \(\displaystyle{ 4x^3 - 4x^2 - 9x + 2}\) inaczej by wielomian nie miał pierwiastka wymiernego, teraz zauważ, że 2 jest miejscem zerowym.

Psiaczek · Post autor: **Psiaczek** » 16 gru 2011, o 20:31

mallio pisze:
\(\displaystyle{ 4x^2 - 4x^3 - 9x + 2}\)

zakładam że zamieniłaś miejscami wykładniki i ma być

\(\displaystyle{ 4x^3-4x^2-9x+2}\)

wtedy sprawdzając z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych natrafiamy na pierwiastek \(\displaystyle{ x=2}\)

dzielimy przez dwumian \(\displaystyle{ 4x^3-4x^2-9x+2=(x-2)(4x^2+4x-1)}\)

trójmian możemy rozłożyć tak (metoda dopełnienia do kwadratu)

\(\displaystyle{ 4x^2+4x-1=4\left( x^2+x- \frac{1}{4}\right) =4\left[ \left( x^2+x+ \frac{1}{4}\right) - \frac{1}{2} \right]=4\left[ \left( x+ \frac{1}{2} \right)^2-\left( \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) ^2 \right]=4\left( x+ \frac{1}{2}- \frac{ \sqrt{2} }{2} \right)\left( x+ \frac{1}{2}+ \frac{ \sqrt{2} }{2} \right)}\)

mallio · Post autor: **mallio** » 16 gru 2011, o 21:52

Ja w ogóle źle przepisałam ten wielomian. Przepraszam
Już poprawiłam.
Pomożecie mi z tym wielomianem, bo jak mam 4 liczby to jeszcze umiem, chodziło mi o 5 heh
Ale Psiaczek bardzo Ci dziękuję, że chciało Ci się rozpisywać wielomian.-- 16 gru 2011, o 22:57 --A jeśli chodzi o metodę dopełnienia do kwadratu skąd się wzięła \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

Psiaczek · Post autor: **Psiaczek** » 16 gru 2011, o 22:05

mallio pisze: \(\displaystyle{ 4x^4 - 4x^3 - 9x^2 + x + 2}\)

Widzę że jest nowa wersja tu mogę cię nauczyć sztuczki, wymaga lekkiej spostrzegawczości, polega na innym zapisaniu aby dało się wyłączyć przed nawias. Można oczywiście na piechotę szukać pierwiastków ale tak jest szybciej:

\(\displaystyle{ 4x^4 - 4x^3 - 9x^2 + x + 2=4x^4 - 4x^3 - 8x^2 -x^2+ x + 2=4x^2(x^2-x-2)-(x^2-x-2)=(x^2-x-2)(4x^2-1)}\)

a te dwa nawiasy tak

\(\displaystyle{ 4x^2-1=(2x)^2-1^2=(2x-1)(2x+1)}\)

\(\displaystyle{ x^2-x-2=\left( x^2-x+ \frac{1}{4}\right) - \frac{9}{4}=\left( x- \frac{1}{2} \right)^2-\left( \frac{3}{2} \right)^2=\left( x- \frac{1}{2}- \frac{3}{2} \right) \left( x- \frac{1}{2}+\frac{3}{2}\right) =(x-2)(x+1)}\)

można było oczywiście deltę liczyć ale dla odmiany tym sposobem odpowiadając na twoje poprzednie pytanie , w tej metodzie dobieramy zawsze trzeci człon ze wzoru na kwadrat sumy/różnicy a resztę zmieniamy tak żeby nie oszukać.
Jeśli się nabierze wprawy jest to dość szybki sposób i nie trzeba wzorów na deltę i pierwiastki pamiętać

mallio · Post autor: **mallio** » 16 gru 2011, o 22:15

Dziękuję Psiaczek, nie wpadłabym na to by z \(\displaystyle{ 9x^2}\) wyłączyć \(\displaystyle{ x^2}\)
Wszystko zrozumiałam

A ta metoda z wyłączeniem kwadratu jest świetna, pouczę się jej. Ale wzory na deltę i pierwiastki umiem już na pamięć, tylko gorzej z wykorzystaniem tej wiedzy heh

Dziękuję też za przejrzyste rozwiązanie

Pozdrawiam Psiaczka