Współczynniki wielomianów

[Disnejx86]

Wielomiany P i Q spełniają \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x\in R}}\) podany warunek. Współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{2}}\) wielomianu P jest równy 2. Wyznacz współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{2}}\) wielomianu Q, jeżeli:

a) \(\displaystyle{ Q(x)=3P(x)-1}\)


Na razie ten przykład. Nie wiem od czego zacząć..... Proszę o porządne wskazówki/rozwiązanie. Bede wdzieczny. Pozdrawiam.

[anna_]

Podpowiedź: \(\displaystyle{ Q(x)}\) i \(\displaystyle{ P(x)}\) muszą być tych samych stopni

[Disnejx86]

No ale co z tym dalej zrobić?

[szw1710]

Gdy się po prostu wymnoży, mamy prościutko: \(\displaystyle{ 3\cdot 2=6}\).

Rozwiązanie zaawansowane:

Współczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\) wielomianu \(\displaystyle{ P(x)}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{P''(0)}{2!}}\). A dla \(\displaystyle{ Q}\) podobnie. Więc \(\displaystyle{ \frac{Q''(0)}{2}=\frac{3P''(0)}{2}=\frac{3\cdot 4}{2}=6.}\) Bo przecież mamy \(\displaystyle{ 2=\frac{P''(0)}{2}\implies P''(0)=4}\).

[anna_]

Przykładowo:
\(\displaystyle{ P(x)=x^3+2x^2+4}\) ile będzie równe \(\displaystyle{ Q(x)}\)?

[Disnejx86]

\(\displaystyle{ Q(x)=x^{3}+ax^{2}+ (?)}\)

nie rozumiem tego

[anna_]

To był tylko przykład. Ponieważ wielomiany są tego samego stpnia współczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\) będzie równy \(\displaystyle{ 3 \cdot 2}\)

[Disnejx86]

Czemu \(\displaystyle{ 3 \cdot 2}\) jak tam jest \(\displaystyle{ Q(x)=3P(x)-1}\) ??

[anna_]

Ok
\(\displaystyle{ P(x)=a_nx^n+...+2x^2+a_1x+a_0}\)

\(\displaystyle{ Q(x)=3(a_nx^n+...+2x^2+a_1x+a_0)-1=3a_nx^n+...+3 \cdot 2x^2+3 \cdot a_1x+3 \cdot a_0-1}\)

zgadza się?

[Disnejx86]

Tak. Czyli będzie \(\displaystyle{ 6}\). Dzięki.