wielomiany nierówność

[matemaniak508]

Zadanie pochodzi z pewnego zbioru matematycznego "Matematyka" E. Śmietany . Znajduje się w nim odpowiedź. (jednak wg. mnie jest ona zła chociaż zawsze mogę sie mylić)

ZADANIE 152.
Wykazać, że dla każdego x prawdziwa jest nierówność
\(\displaystyle{ x^{12} - x^{9} + x^{4} - x^{1} +1>0}\)

Odpowiedź zawarta w zbiorze:
Układamy wielomian równoważny \(\displaystyle{ w(x)=x(x-1)( x^{2} +x+1)( x^{8} +1)}\).
Jeżeli \(\displaystyle{ x<\le1}\),TO \(\displaystyle{ w(x)}\)jest dodatni.Również dla \(\displaystyle{ x>0}\) nierówność jest prawdziwa.

[kamil13151]

Tylko, że \(\displaystyle{ x^{12}-x^9+x^4-x+1 \neq x(x-1)( x^{2} +x+1)( x^{8} +1)}\)

[anna_]

Zgubili \(\displaystyle{ 1}\). Powinno być:
\(\displaystyle{ x^{12} - x^{9} + x^{4} - x^{1} +1=x(x-1)( x^{2} +x+1)( x^{8} +1)+1}\)

[matemaniak508]

No tak... Rzecz jednak w tym, że ten "równoważny wielomian" ma miejsca zerowe a my nie jesteśmy w stanie obliczyć najmniejszej jego wartości...(która powinna być większa od -1)
Celem tego tematu jest też dowód tej nierówność i a nie tylko stwierdzenie pomyłki...
(dziękuje za udział w dyskusji i jednocześnie porszę w dalszym ciągu o pomoc)

[kamil13151]

"równoważny wielomian" ma miejsca zerowe

Nieprawda. Po prostu w odpowiedzi jedynki na końcu zapomnieli napisać, reszta jest ok, zapodaję inny sposób.


Dla liczb niedodatnich nierówność jest oczywista.

Dla \(\displaystyle{ x \ge 1}\) również, gdy mamy w postaci:
\(\displaystyle{ x^9(x^3-1)+x(x^3-1)+1>0}\)

Zostało udowodnić w \(\displaystyle{ x \in (0;1)}\). Korzystamy z AM-GM i widzimy, że: \(\displaystyle{ \frac{x^{12}+x^4}{2} \ge x^8 \Leftrightarrow x^{12}+x^4 \ge x^8+x^8}\). Nie problem jest zauważyć, że \(\displaystyle{ x^8 > x^9}\) w przedziale którym rozpatrujemy, również \(\displaystyle{ 1>x}\) oraz \(\displaystyle{ x^8>0}\), dodając mamy: \(\displaystyle{ x^8+x^8+1>x^9+x}\). Cofamy się do AM-GM i dodajemy obustronnie po jedynce: \(\displaystyle{ x^{12}+x^4+1 \ge x^8+x^8+1}\), więc mamy: \(\displaystyle{ x^{12}+x^4+1>x^9+x}\), c.n.d.

W \(\displaystyle{ x \in (0;1)}\) można również tak: \(\displaystyle{ x^{12}+x^4(1-x^5)+1-x>0}\), co jest oczywiste.

[matemaniak508]

Temat uważam za zamknięty choć nurtują mnie jeszcze 2 rzeczy nie do końca ściśle związane z tematem jednak myślę istotne dla dalszej edukacji

1 Co oznacza AM-GM?
2 Skąd wiemy że każdy wielomian da się rozłożyć na czynniki które są wielomianami st. nie większego niż 2 (a skoro mamy taką pewność to dlaczego istnieje tak bardzo skomplikowany dowód na to że każdy wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek)

[Psiaczek]

1 Co oznacza AM-GM?

to taki żargon młodych matematyków - oznacza to "nierówność pomiędzy średnią arytmetyczną a geometryczną"

2 Skąd wiemy że każdy wielomian da się rozłożyć na czynniki które są wielomianami st. nie większego niż 2

"Zasadnicze twierdzenie algebry" plus pewne własności liczb zespolonych.

(a skoro mamy taką pewność to dlaczego istnieje tak bardzo skomplikowany dowód na to że każdy wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek)

Naprawdę uważasz że ten dowód jest skomplikowany? Może kiedyś przeanalizujesz dowód twierdzenia o którym mowa w punkcie 2, to będziesz mógł porównać.