Zadanie pochodzi z pewnego zbioru matematycznego "Matematyka" E. Śmietany . Znajduje się w nim odpowiedź. (jednak wg. mnie jest ona zła chociaż zawsze mogę sie mylić)
ZADANIE 152.
Wykazać, że dla każdego x prawdziwa jest nierówność
\(\displaystyle{ x^{12} - x^{9} + x^{4} - x^{1} +1>0}\)
Odpowiedź zawarta w zbiorze:
Układamy wielomian równoważny \(\displaystyle{ w(x)=x(x-1)( x^{2} +x+1)( x^{8} +1)}\).
Jeżeli \(\displaystyle{ x<\le1}\),TO \(\displaystyle{ w(x)}\)jest dodatni.Również dla \(\displaystyle{ x>0}\) nierówność jest prawdziwa.
wielomiany nierówność
-
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 15 gru 2011, o 16:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: M-ce
- Podziękował: 6 razy
wielomiany nierówność
Ostatnio zmieniony 15 gru 2011, o 16:43 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex] .
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
wielomiany nierówność
Tylko, że \(\displaystyle{ x^{12}-x^9+x^4-x+1 \neq x(x-1)( x^{2} +x+1)( x^{8} +1)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 15 gru 2011, o 16:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: M-ce
- Podziękował: 6 razy
wielomiany nierówność
No tak... Rzecz jednak w tym, że ten "równoważny wielomian" ma miejsca zerowe a my nie jesteśmy w stanie obliczyć najmniejszej jego wartości...(która powinna być większa od -1)
Celem tego tematu jest też dowód tej nierówność i a nie tylko stwierdzenie pomyłki...
(dziękuje za udział w dyskusji i jednocześnie porszę w dalszym ciągu o pomoc)
Celem tego tematu jest też dowód tej nierówność i a nie tylko stwierdzenie pomyłki...
(dziękuje za udział w dyskusji i jednocześnie porszę w dalszym ciągu o pomoc)
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
wielomiany nierówność
Nieprawda. Po prostu w odpowiedzi jedynki na końcu zapomnieli napisać, reszta jest ok, zapodaję inny sposób."równoważny wielomian" ma miejsca zerowe
Dla liczb niedodatnich nierówność jest oczywista.
Dla \(\displaystyle{ x \ge 1}\) również, gdy mamy w postaci:
\(\displaystyle{ x^9(x^3-1)+x(x^3-1)+1>0}\)
Zostało udowodnić w \(\displaystyle{ x \in (0;1)}\). Korzystamy z AM-GM i widzimy, że: \(\displaystyle{ \frac{x^{12}+x^4}{2} \ge x^8 \Leftrightarrow x^{12}+x^4 \ge x^8+x^8}\). Nie problem jest zauważyć, że \(\displaystyle{ x^8 > x^9}\) w przedziale którym rozpatrujemy, również \(\displaystyle{ 1>x}\) oraz \(\displaystyle{ x^8>0}\), dodając mamy: \(\displaystyle{ x^8+x^8+1>x^9+x}\). Cofamy się do AM-GM i dodajemy obustronnie po jedynce: \(\displaystyle{ x^{12}+x^4+1 \ge x^8+x^8+1}\), więc mamy: \(\displaystyle{ x^{12}+x^4+1>x^9+x}\), c.n.d.
W \(\displaystyle{ x \in (0;1)}\) można również tak: \(\displaystyle{ x^{12}+x^4(1-x^5)+1-x>0}\), co jest oczywiste.
-
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 15 gru 2011, o 16:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: M-ce
- Podziękował: 6 razy
wielomiany nierówność
Temat uważam za zamknięty choć nurtują mnie jeszcze 2 rzeczy nie do końca ściśle związane z tematem jednak myślę istotne dla dalszej edukacji
1 Co oznacza AM-GM?
2 Skąd wiemy że każdy wielomian da się rozłożyć na czynniki które są wielomianami st. nie większego niż 2 (a skoro mamy taką pewność to dlaczego istnieje tak bardzo skomplikowany dowód na to że każdy wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek)
1 Co oznacza AM-GM?
2 Skąd wiemy że każdy wielomian da się rozłożyć na czynniki które są wielomianami st. nie większego niż 2 (a skoro mamy taką pewność to dlaczego istnieje tak bardzo skomplikowany dowód na to że każdy wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek)
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
wielomiany nierówność
to taki żargon młodych matematyków - oznacza to "nierówność pomiędzy średnią arytmetyczną a geometryczną"matemaniak508 pisze: 1 Co oznacza AM-GM?
"Zasadnicze twierdzenie algebry" plus pewne własności liczb zespolonych.2 Skąd wiemy że każdy wielomian da się rozłożyć na czynniki które są wielomianami st. nie większego niż 2
Naprawdę uważasz że ten dowód jest skomplikowany? Może kiedyś przeanalizujesz dowód twierdzenia o którym mowa w punkcie 2, to będziesz mógł porównać.(a skoro mamy taką pewność to dlaczego istnieje tak bardzo skomplikowany dowód na to że każdy wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek)