Reszta z dzielenia, bez dzielenia

[FilipSosna]

Mam problem z zadaniem:
Wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W\left( x \right) = x^{444}+x^{111}+x-1}\) przez wielomian \(\displaystyle{ Q\left( x \right) =\left( x^{2}+1\right)^{2}}\)

\(\displaystyle{ Q\left( x \right) = \left( x^{2}+1\right)^{2} = 0}\) dla \(\displaystyle{ x= \pm i}\)
Dalej mamy, że \(\displaystyle{ W\left( \pm i \right) = 0}\) czyli jest pierwiastkiem tego wielomianu, skąd wiemy, że reszta z dzielenia \(\displaystyle{ W\left( x\right)}\) przez \(\displaystyle{ Q\left( x\right)}\) będzie co najwyżej pierwszego stopnia, czyli przyjmuje postać \(\displaystyle{ R\left( x\right) =ax+b}\)
No i na tym kończy się moja wena... Możecie podsunąć jakiś pomysł? I czy w ogóle póki co moje rozumowanie jest poprawne?

[lukasz1804]

Reszta z dzielenia przez wielomian stopnia czwartego może być wielomianem stopnia co najwyżej trzeciego.

[FilipSosna]

Prawda, ale \(\displaystyle{ \frac{ W\left( x\right)}{x^{2}+1}=P\left( x\right)}\) bez reszty (czy jak kto woli z resztą równą zero), czyli dzielenie \(\displaystyle{ W\left( x\right)}\) przez \(\displaystyle{ \left( x^{2}+1\right)^{2}}\) to tak jak dzielenie \(\displaystyle{ P\left( x\right)}\) przez \(\displaystyle{ \left( x^{2}+1\right)}\) z resztą stopnia co najwyżej pierwszego.

[lukasz1804]

Teraz masz rację, jednak nie dysponujesz jawną postacią wielomianu \(\displaystyle{ P}\).

Wykorzystajmy wielomian \(\displaystyle{ W}\) i jego pochodną.
Mamy \(\displaystyle{ W(x)=(x^2+1)P(x)}\).
Niech \(\displaystyle{ P(x)=(x^2+1)Q(x)+ax+b}\). Wówczas \(\displaystyle{ W(x)=(x^2+1)^2Q(x)+(x^2+1)(ax+b)}\), stąd \(\displaystyle{ W'(x)=4x(x^2+1)Q(x)+(x^2+1)^2Q'(x)+2x(ax+b)+a(x^2+1)}\). Zatem do warunku \(\displaystyle{ (x^2+1)|W'(x)}\) wystarczy by wielomian \(\displaystyle{ 2x(ax+b)}\) przyjmował wartość \(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ x=-i, x=i}\).