Podzielność wielomianu

aviaaa · Post autor: **aviaaa** » 14 gru 2011, o 18:51

Wykaż, że dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb N_{+}}\) wielomian \(\displaystyle{ (x-2) ^{2n} + (x-1) ^{n} - 1}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-1)(x-2)}\).
Próbowałam to policzyć wzorami Bezout'a ale te potęgi \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ 2n}\) mnie okropnie przeraziły i nic z tego nie wyszło

Proszę o pomoc..
wrazie coś.. GG:4480299

Psiaczek · Post autor: **Psiaczek** » 14 gru 2011, o 18:56

Ale co cię przeraziło?Oznaczasz \(\displaystyle{ W(x)=(x-2) ^{2n} + (x-1) ^{n} - 1}\)

i zauważasz ,że

\(\displaystyle{ W(1)=(-1)^{2n}+0^n-1=1+0-1=0}\)

\(\displaystyle{ W(2)=0^{2n}+1^n-1=0+1-1=0}\)

aviaaa · Post autor: **aviaaa** » 14 gru 2011, o 19:01

no ale to jest podstawka.. a gdzie w tym teoria i logiczne uzasadnienie? wydawało mi sie ze tyle to za malo...

Psiaczek · Post autor: **Psiaczek** » 14 gru 2011, o 19:16

Teraz napisz taką tożsamość wynikającą z definicji dzielenia wielomianów z resztą:

\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)(x-1)(x-2)+(ax+b)}\)

wstawiając do niej kolejno \(\displaystyle{ x=1,x=2}\) otrzymujesz układ równań

\(\displaystyle{ W(1)=a+b,W(2)=2a+b}\)

czyli \(\displaystyle{ 0=a+b,0=2a+b}\)

rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ a=0,b=0}\) czyli podzielił się bez reszty.

aviaaa · Post autor: **aviaaa** » 14 gru 2011, o 19:34

racja....