Wyznacz wielomiany

[Mszak]

Chciałem poprosić o podpowiedź, jak zrobić takie zadanko. Jak mimo wszystko nie uda mi się go zrobić, to wtedy ewentualnie poproszę o rozwiązanie.

Wyznacz wielomiany spełniające poniższe dwa warunki:
\(\displaystyle{ W(0)=2 \ i \ W(x_{1}+x_{2})=W(x_{1})+W(x_{2})+2x_{1}x_{2}-2}\)

[Errichto]

Informacja, że \(\displaystyle{ W(0)=2}\) jest zbędna.

Podstaw \(\displaystyle{ x_1=x_2}\). Zastanów się nad otrzymanym wzorem (zapomnij już o wzorze na \(\displaystyle{ W(x_1+x_2)}\) ). Pamiętaj, że szukasz wielomianów a nie wszystkich funkcji (a wielomian można rozpisać jako pewną sumę).

[Mszak]

Czyli wynikiem będzie po prostu:

\(\displaystyle{ W(x)= \frac{2a _{n} }{2 ^{n} }x ^{n} +...+ \frac{2a _{3} }{2 ^{3} } x ^{3} + \frac{2a _{2} +2}{2 ^{2} } x ^{2} +a _{1}x+2}\)

Hm, ale znowu tak można dobrać współczynniki "a", że wielomian przyjmie z powrotem postać ogólną, czyli do niczego mnie to nie prowadzi. Podaj jednak rozwiązanie, poddaję się jednak. ;P

[Errichto]

\(\displaystyle{ W(2x)=2W(x)+2x^2-2 \\ a_0+a_1 \cdot 2x+a_2 \cdot (2x)^2+a_3 \cdot (2x)^3+a_4(2x)^4+...=2a_0-2+2a_1x+(2a_2+2)x^2+2a_3x^3+2a_4x^4...}\)
Współczynniki muszą być takie same po obu stronach równania.

[Mszak]

Faktycznie, zapomniałem o tym. Aż głupio o takie zadanko pytać. ;d
Dzięki wielkie.