Równanie z parametrem.

[Orion94]

Treść: dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) pierwiastki \(\displaystyle{ x _{1}; x _{2}; x _{3}}\) równania \(\displaystyle{ x^{3}-9x^{2}+ax-15=0}\) spełniają warunki: \(\displaystyle{ x_{2}=x_{1}+2 \ i \ x_{3}=x_{1}+4}\)? Znajdź wszystkie pierwiastki tego równania.

[ginga]

Wielomian trzeciego stopnia można przedstawić w postaci:
\(\displaystyle{ a(x- x_{1})(x- x_{2})(x- x_{3})}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest współczynnikiem przy najwyższej potędze (w tym wypadku przy 3).
Spróbuj, korzystając z danych założeń, zapisać ten wielomian.

[Psiaczek]

rozpisz \(\displaystyle{ (x-x _{1})(x-x _{2})(x- {x}_3)= x^3-9x^2+ax-15}\)

przyrównaj współczynniki przy\(\displaystyle{ x^2}\) otrzymasz równanie:

\(\displaystyle{ x _{1}+x _{2} +x _{3} =9}\)

\(\displaystyle{ 3x _{1}+6=9}\)

\(\displaystyle{ x _{1}=1}\)

wstawiając\(\displaystyle{ x=1}\)do wielomianu i przyrównując go do zera, otrzymasz \(\displaystyle{ a=23}\)

dalej już łatwo , pozostałe pierwiastki to \(\displaystyle{ 3,5}\)