podzielność wielomianu

[magdabp]

Dla jakich wartości współczynników a i b wielomian:

\(\displaystyle{ P(x)=x^{6} +ax +b}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x^{2} -4}\) ??

[Tristan]

Zauważmy, że \(\displaystyle{ x^2 -4=(x-2)(x+2)}\). Korzystając z tw. Bezouta mamy, że wielomian P jest podzielny przez x-2 i x+2, gdy \(\displaystyle{ P(-2)=0 P(-2)=0}\). Mamy z tego, że \(\displaystyle{ 2^6+2a+b=0 (-2)^6 -2a+b=0}\). Rozwiązaniem tego układu równań jest \(\displaystyle{ a=0 b=-64}\).