Uzasadnij, że

[Master302]

1. Uzasadnij, że jeśli wielomiany \(\displaystyle{ W(x)}\) i \(\displaystyle{ W(x-1)}\) mają wspólny pierwiastek, to wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) ma pierwiastki \(\displaystyle{ x _{1}}\) i \(\displaystyle{ x _{2}}\), takie że \(\displaystyle{ \left|x _{1} -x _{2} \right|=1}\)

2. Uzasadnij, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in R}\) wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^6-x^5+x^4+x^2-x+1}\) przyjmuje wartości tylko dodatnie.

Proszę o pomoc, nie mam pojęcia jak zabrać się za te zadania.

[Kartezjusz]

1)niech x będzie takim pierwiastkiem.
Wówczas
\(\displaystyle{ W(x)=0 \wedge W(x-1)=0}\)To oznacza,że pierwiastkami są W są
\(\displaystyle{ x \wedge x-1}\)
2)rozłóż nasz wielomian na czynniki stopni niższych.

[pawex9]

2.
wielomian ma dodatni współczynnik czy najwyzszej potędze wiec jest skierowany ramionami do góry.
Musisz pokazac ze ten wielomian niema miejsc zerowych. Jesli tak jest to wykres jest na osią OX więc zawsze przyjmuje wartości dodatnie

[aalmond]

Albo tak:
ad. 2
\(\displaystyle{ W(x)=x^6-x^5+x^4+x^2-x+1 = (x^4 +1)(x^2-x+1)}\)
Łatwo wykazać, że wielomiany w iloczynie są dodatnie

[Master302]

dobra, z 2 już sobie sam poradziłem, zostało jeszcze to 1 : /

[aalmond]

zostało jeszcze to 1

patrz: wpis Kartezjusza

[Master302]

Mam wyznaczone pierwiastki, ale co dalej ?

[aalmond]

ma pierwiastki \(\displaystyle{ x _{1}}\) i \(\displaystyle{ x _{2}}\), takie że \(\displaystyle{ \left|x _{1} -x _{2} \right|=1}\)

Sprawdź ten warunek.

[Master302]

wykres \(\displaystyle{ W(x-1)}\) jest przesunięty o wektor \(\displaystyle{ \vec{v}=[1,0]}\) w stosunku do wykresu \(\displaystyle{ W(x)}\). Czyli jeśli \(\displaystyle{ W(x)}\) ma pierwiastki \(\displaystyle{ x _{1} \wedge x _{2}}\) no a jeden z nich jest wspólny dla obu wielomianów, no to będzie nim \(\displaystyle{ x_{2} \Rightarrow x_{2}}\) musi być oddalony od \(\displaystyle{ x_{1}}\) o 1 \(\displaystyle{ \Rightarrow \left| x_{1}-x_{2}\right|=1}\). Czy moje rozumowanie jest poprawne ?

[aalmond]

no to będzie nim \(\displaystyle{ x_{2}}\)...

Równie dobrze może być \(\displaystyle{ x_1}\). Oznaczenia są umowne.

[Master302]

więc biorę twój pomysł, aalmond:

rozpisuję wartość bezwzględną:
I:

\(\displaystyle{ x_{1}-x_{2} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ x_{1}-x_{2} =1}\)
\(\displaystyle{ x_{1} = x_{2} +1 \wedge x_{2} = x_{1}-1}\)

II:

\(\displaystyle{ x_{1}-x_{2} \le 0}\)
\(\displaystyle{ -x_{1}+x_{2}=1}\)
\(\displaystyle{ x_{1}= x_{2}-1 \wedge x_{2}=x_{1}+1}\)

więc co dalej ?

[aalmond]

Dlaczego tak?

Ma zachodzić: \(\displaystyle{ \left|x _{1} -x _{2} \right|=1}\)

Rozpatrujemy dwa przypadki:
I
\(\displaystyle{ x_1 = x \\
x_2 = x - 1}\)
i wtedy
\(\displaystyle{ \left|x _{1} -x _{2} \right| = |x - (x - 1)| = |x - x +1| = 1}\)

II
\(\displaystyle{ x_1 = x -1\\
x_2 = x}\)
i tutaj
\(\displaystyle{ \left|x _{1} -x _{2} \right| = |x - 1 - x| = |-1| = 1}\)