"Prosta funkcja" :P

[kenser]

Proszę o sposób rozwiązania tego równania:

\(\displaystyle{ x^3 + x^2 + 1 = 0}\)

Z góry dzięki

Pozdro

[Psiaczek]

krok pierwszy :podstawiamy \(\displaystyle{ x=y- \frac{1}{3}}\)

otrzymujemy \(\displaystyle{ y^3-y^2+ \frac{1}{3}y- \frac{1}{27}+y^2- \frac{2}{3}y+ \frac{1}{9}+1=0}\)

po redukcji \(\displaystyle{ y^3- \frac{1}{3}y+ \frac{29}{27}=0}\)

otrzymaliśmy równanie gdzie nie występuje druga potęga.

[major37]

Dlaczego \(\displaystyle{ - \frac{1}{3}}\) ? Może być inna liczba ?

[kamil13151]

major37, tak się rozwiązuje równania trzeciego stopnia, zobacz wzory Cardano.

[major37]

Właśnie patrzałem tylko je zapamiętać to sztuka

[kamil13151]

Nie musisz ich pamiętać Zobacz tutaj viewtopic.php?f=27&t=243245

[Psiaczek]

Dlaczego \(\displaystyle{ - \frac{1}{3}}\) ? Może być inna liczba ?

W ogólnym przypadku równanie \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d=0}\) dzielimy przez \(\displaystyle{ a}\), następnie podstawiamy \(\displaystyle{ x=y- \frac{b}{3a}}\)

krok drugi otrzymaliśmy równanie typu \(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\) .

Jedną z metod jest teraz zrobić podstawienie: \(\displaystyle{ y=s- \frac{p}{3s}}\)

w naszym przypadku będzie to :\(\displaystyle{ y=s+ \frac{1}{9s}}\)

po przekształceniach otrzymamy:
\(\displaystyle{ s^3+ \frac{1}{729s^3}+ \frac{29}{27} =0}\)

oznaczając \(\displaystyle{ z=s^3}\) mamy \(\displaystyle{ z+ \frac{1}{729z}+ \frac{29}{27}=0}\)

mnożąc stronami przez \(\displaystyle{ z}\) otrzymamy:

\(\displaystyle{ z^2+ \frac{29}{27}z+ \frac{1}{729} =0}\)

otrzymane równanie kwadratowe nazywa się REZOLWENTĄ bądź RÓWNANIEM ROZWIĄZUJACYM.

[major37]

Dzięki Ci

[Mariusz M]

Można też użyć podstawienia \(\displaystyle{ y=u+v}\) zamiast \(\displaystyle{ y=s- \frac{p}{3s}}\)
nie trzeba wtedy pamiętać o zerowych pierwiaskach

Po podstawieniu \(\displaystyle{ y=u+v}\) dostajemy równanie które
przekształcamy w układ równań przypominający wzory Viete dla równania kwadratowego