Rozłóż wielomiany na czynniki

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
denatlu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 524
Rejestracja: 10 mar 2011, o 20:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 128 razy
Pomógł: 14 razy

Rozłóż wielomiany na czynniki

Post autor: denatlu »

Rozłóż Wielomiany na czynniki stosując wzory skróconego mnożenia.

1. \(\displaystyle{ W(a)=a ^{3} -3}\)

2. \(\displaystyle{ W(x)=1-6x ^{3}}\)

3. \(\displaystyle{ W(x)=(x+2) ^{3}+27}\)
Awatar użytkownika
mmoonniiaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5482
Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1470 razy

Rozłóż wielomiany na czynniki

Post autor: mmoonniiaa »

Na pewno znasz wzory skróconego mnożenia:
- różnica sześcianów: \(\displaystyle{ a^{3}-b^{3}=\left( a-b\right)\left( a^{2}+ab+b^{2}\right)}\)
- suma sześcianów: \(\displaystyle{ a^{3}+b^{3}=\left( a+b\right)\left( a^{2}-ab+b^{2}\right)}\)

\(\displaystyle{ 1. \ a^{3}- \left( \sqrt[3]{3}\right) ^{3}=...\\
2. \ 1^{3}- \left( \sqrt[3]{6} x\right) ^{3}=...\\
3. \ \left( x+2\right) ^{3}+3^{3}=...}\)
Awatar użytkownika
denatlu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 524
Rejestracja: 10 mar 2011, o 20:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 128 razy
Pomógł: 14 razy

Rozłóż wielomiany na czynniki

Post autor: denatlu »

w trzecim mi nie wychodzi:

\(\displaystyle{ (x+2) ^{3} +3 ^{3} = (x+5) ^{3}=(x+5)(x ^{2} -5x+25)}\)
Awatar użytkownika
mmoonniiaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5482
Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1470 razy

Rozłóż wielomiany na czynniki

Post autor: mmoonniiaa »

\(\displaystyle{ \left( x+2\right) ^{3}+3^{3}=\left( x+5\right) \left[ \left( x+2\right)^{2}-3\left( x+2\right)+9 \right]}\)
Awatar użytkownika
denatlu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 524
Rejestracja: 10 mar 2011, o 20:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 128 razy
Pomógł: 14 razy

Rozłóż wielomiany na czynniki

Post autor: denatlu »

i dalej mi nie wychodzi.

...\(\displaystyle{ =(x+5)(x ^{2} +4x+4-3x-6+9)}\) ten znak bez minusów wynik wyjdzie dobry.
Awatar użytkownika
mmoonniiaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5482
Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1470 razy

Rozłóż wielomiany na czynniki

Post autor: mmoonniiaa »

Dobrze masz:
\(\displaystyle{ (x+5)(x ^{2} +4x+4-3x-6+9)}\)
Teraz uporządkuj wewnątrz drugiego nawiasu.
Awatar użytkownika
denatlu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 524
Rejestracja: 10 mar 2011, o 20:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 128 razy
Pomógł: 14 razy

Rozłóż wielomiany na czynniki

Post autor: denatlu »

i nie wychodzi, bo w odpowiedziach mam wynik:

\(\displaystyle{ (x+5)(x ^{2} +7x+19)}\)
Awatar użytkownika
mmoonniiaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5482
Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1470 razy

Rozłóż wielomiany na czynniki

Post autor: mmoonniiaa »

A w początkowej postaci na pewno był znak +?
\(\displaystyle{ W(x)=(x+2) ^{3}{\color{red}+}27}\)
Awatar użytkownika
denatlu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 524
Rejestracja: 10 mar 2011, o 20:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 128 razy
Pomógł: 14 razy

Rozłóż wielomiany na czynniki

Post autor: denatlu »

tak, tak właśnie mam.
Awatar użytkownika
mmoonniiaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5482
Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1470 razy

Rozłóż wielomiany na czynniki

Post autor: mmoonniiaa »

W takim razie ostateczny wynik to:
\(\displaystyle{ (x+5)(x ^{2} +4x+4-3x-6+9)=(x+5)(x ^{2} +x+7)}\)

Możesz sobie sprawdzić np. dla \(\displaystyle{ x=1}\)
\(\displaystyle{ W(1)=(1+2) ^{3}+27=27+27=54}\)
poprawna odpowiedź: \(\displaystyle{ (1+5)(1 ^{2} +1+7)=6 \cdot 9=54}\)
zła odpowiedź: \(\displaystyle{ (1+5)(1 ^{2} +7+19)=6 \cdot 27 \neq 54}\)
Awatar użytkownika
denatlu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 524
Rejestracja: 10 mar 2011, o 20:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 128 razy
Pomógł: 14 razy

Rozłóż wielomiany na czynniki

Post autor: denatlu »

A taki przykład:

\(\displaystyle{ W(x)=x ^{4} -10x ^{2} +25}\)

Przeczytałem w internecie, że jak równianie 4 stopnia jest dwukwadratowe, to trzeba zrobić \(\displaystyle{ t=x ^{2}}\)

I wyszło mi:
\(\displaystyle{ W(t)=t ^{2} -10t+25}\)

\(\displaystyle{ W(t)=(t-5) ^{2}}\)

I tutaj trzeba spierwiastkować żeby nawiasu się pozbyć. Jak zapisać lewą stronę \(\displaystyle{ W(t)}\) zeby potem móc wyciągnąc wartość bezwzględną z ponownego pierwiastkowania (rozumiem, ze ponownie pierwiastkowanie potrzebne jest dlatego, że zamieniłem tam \(\displaystyle{ x ^{2}}\)na \(\displaystyle{ t}\)).
Awatar użytkownika
mmoonniiaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5482
Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1470 razy

Rozłóż wielomiany na czynniki

Post autor: mmoonniiaa »

Teraz wracasz do podstawienia:
\(\displaystyle{ (t-5) ^{2}=(x^{2}-5) ^{2}=...}\)
i stosujesz wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, tzn.:
\(\displaystyle{ x^{2}-5=\left(x- \sqrt{5} \right) \left( x+ \sqrt{5} \right)}\)
Czyli ostatecznie:
\(\displaystyle{ ...=\left[ \left(x- \sqrt{5} \right) \left( x+ \sqrt{5} \right)\right] ^{2}=\left(x- \sqrt{5} \right)^{2} \left( x+ \sqrt{5} \right)^{2}}\)
Awatar użytkownika
denatlu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 524
Rejestracja: 10 mar 2011, o 20:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 128 razy
Pomógł: 14 razy

Rozłóż wielomiany na czynniki

Post autor: denatlu »

dlaczego to w nawiasie kwadratowym do drugiej potęgi podniesione jesT?
Awatar użytkownika
mmoonniiaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5482
Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1470 razy

Rozłóż wielomiany na czynniki

Post autor: mmoonniiaa »

Bo to też było podniesione do kwadratu: \(\displaystyle{ (x^{2}-5) ^{2}}\) a rozpisujemy tylko wnętrze, pamiętając, że całość cały czas jest podniesiona do kwadratu.
ODPOWIEDZ