Rozkładanie wielomianu i inne
- fcbarcelonacule
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 5 gru 2011, o 14:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraśnik
Rozkładanie wielomianu i inne
Proszę o pomoc w następującym zadaniu. Rozłóż wielomian na czynniki, W(x)=\(\displaystyle{ x ^{4}}\)\(\displaystyle{ -3x^3}\)\(\displaystyle{ -2x^2}\)-3x+1-- 5 gru 2011, o 15:07 --Żadna z poznanych przeze mnie metod nie nadaje się do tego przykładu. Wie ktoś jak rozłożyć ten nieziemsko trudny wielomian
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Rozkładanie wielomianu i inne
,,Symetryczny" jest, pójdzie moją metodą :
\(\displaystyle{ W(x)=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)}\) porównać obie postacie , wyznaczyć (a) i (b).
\(\displaystyle{ W(x)=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)}\) porównać obie postacie , wyznaczyć (a) i (b).
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Rozkładanie wielomianu i inne
piasek101, skąd wiesz że wyrazy wolne tych trójmnianów są jedynkami
Skoro piasek już pisał o wielomianach symetrycznych to da się to rozwiązać w ten sposób
Definiujesz sobie wielomian
\(\displaystyle{ F=\left( t-\left( x_{1}+x_{2}\right) \right)\left( t-\left( x_{1}+x_{3}\right) \right)\left( t-\left( x_{1}+x_{4}\right) \right)\left( t-\left( x_{3}+x_{4}\right) \right)\left( t-\left( x_{2}+x_{4}\right) \right)\left( t-\left( x_{2}+x_{3}\right) \right)\\
=\left( t^{2}-p_{1}t+\left( x_{1}+x_{2}\right)\left( x_{3}+x_{4}\right)\right)\left( t^{2}-p_{1}t+\left( x_{1}+x_{3}\right)\left( x_{2}+x_{4}\right)\right)\left( t^{2}-p_{1}t+\left( x_{1}+x_{4}\right)\left( x_{2}+x_{3}\right)\right)}\)
Definiujesz sobie jeden z dwóch wielomianów
\(\displaystyle{ U=\left( u-\left( x_{1}+x_{2}\right)\left( x_{3}+x_{4}\right)\right)\left( u-\left( x_{1}+x_{3}\right)\left( x_{2}+x_{4}\right)\right) \left( u-\left( x_{1}+x_{4}\right)\left( x_{2}+x_{3}\right)\right)\\
V=\left( v-\left( x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}\right) \right)\left( v-\left( x_{1}x_{3}+x_{2}x_{4}\right) \right)\left( v-\left( x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}\right) \right)}\)
Współczynniki wszystkich trzech wielomianów są wielomianami symetrycznymi
i mogą być przedstawione za pomocą wielomianów symetrycznych podstawowych
a także stosując wzory Viete za pomocą współczynników równania czwartego stopnia
Aby obliczyć pierwiastki tego pierwszego wielomianu (szóstego stopnia) potrzebne jest jednak
jedno extra podstawienie więc jak kto woli to może wybrać sobie jeden z dwóch
podanych wielomianów trzeciego stopnia , wyrazić jego współczynniki przy pomocy
wielomianów symetrycznych podstawowych a następnie korzystając ze wzorów Viete
za pomocą współczynników wielomianu czwartego stopnia
Mając pierwiastki wybranego wielomianu trzeciego stopnia możemy znaleźć pierwiastki wielomianu
szóstego stopnia rozwiązując trzy równania kwadratowe
Po znalezieniu pierwiastków wielomianu szóstego stopnia
wybieramy trzy pierwiastki i sumujemy je (powinien nam się pojawić wielomian symetryczny pierwszego stopnia)
Skoro piasek już pisał o wielomianach symetrycznych to da się to rozwiązać w ten sposób
Definiujesz sobie wielomian
\(\displaystyle{ F=\left( t-\left( x_{1}+x_{2}\right) \right)\left( t-\left( x_{1}+x_{3}\right) \right)\left( t-\left( x_{1}+x_{4}\right) \right)\left( t-\left( x_{3}+x_{4}\right) \right)\left( t-\left( x_{2}+x_{4}\right) \right)\left( t-\left( x_{2}+x_{3}\right) \right)\\
=\left( t^{2}-p_{1}t+\left( x_{1}+x_{2}\right)\left( x_{3}+x_{4}\right)\right)\left( t^{2}-p_{1}t+\left( x_{1}+x_{3}\right)\left( x_{2}+x_{4}\right)\right)\left( t^{2}-p_{1}t+\left( x_{1}+x_{4}\right)\left( x_{2}+x_{3}\right)\right)}\)
Definiujesz sobie jeden z dwóch wielomianów
\(\displaystyle{ U=\left( u-\left( x_{1}+x_{2}\right)\left( x_{3}+x_{4}\right)\right)\left( u-\left( x_{1}+x_{3}\right)\left( x_{2}+x_{4}\right)\right) \left( u-\left( x_{1}+x_{4}\right)\left( x_{2}+x_{3}\right)\right)\\
V=\left( v-\left( x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}\right) \right)\left( v-\left( x_{1}x_{3}+x_{2}x_{4}\right) \right)\left( v-\left( x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}\right) \right)}\)
Współczynniki wszystkich trzech wielomianów są wielomianami symetrycznymi
i mogą być przedstawione za pomocą wielomianów symetrycznych podstawowych
a także stosując wzory Viete za pomocą współczynników równania czwartego stopnia
Aby obliczyć pierwiastki tego pierwszego wielomianu (szóstego stopnia) potrzebne jest jednak
jedno extra podstawienie więc jak kto woli to może wybrać sobie jeden z dwóch
podanych wielomianów trzeciego stopnia , wyrazić jego współczynniki przy pomocy
wielomianów symetrycznych podstawowych a następnie korzystając ze wzorów Viete
za pomocą współczynników wielomianu czwartego stopnia
Mając pierwiastki wybranego wielomianu trzeciego stopnia możemy znaleźć pierwiastki wielomianu
szóstego stopnia rozwiązując trzy równania kwadratowe
Po znalezieniu pierwiastków wielomianu szóstego stopnia
wybieramy trzy pierwiastki i sumujemy je (powinien nam się pojawić wielomian symetryczny pierwszego stopnia)
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Rozkładanie wielomianu i inne
Pogadali, wytoczyli ciężką artylerię, a wielomianu mu nie rozłożyli
rozważmy równanie
\(\displaystyle{ x^4-3x^3-2x^2-3x+1=0}\)
widzimy że zero nie jest pierwiastkiem , dzielimy stronami przez \(\displaystyle{ x^2}\)
\(\displaystyle{ x^2-3x-2- \frac{3}{x}+ \frac{1}{x^2}=0}\)
\(\displaystyle{ \left( x^2+ \frac{1}{x^2} \right) -3\left( x+ \frac{1}{x} \right) -2=0}\)
zauważmy że \(\displaystyle{ \left( x^2+ \frac{1}{x^2} \right)=\left( x+ \frac{1}{x} \right)^2-2}\)
dostajemy dalej:
\(\displaystyle{ \left( x+ \frac{1}{x} \right) ^2-3\left( x+ \frac{1}{x}\right) -4=0}\)
\(\displaystyle{ \left[ \left( x+ \frac{1}{x} \right)+1 \right] \left[ \left( x+ \frac{1}{x} \right) -4\right]=0}\)
teraz możemy pomnożyć stronami przez \(\displaystyle{ x^2}\) i mamy rozkład:
\(\displaystyle{ (x^2+x+1)(x^2-4x+1)=0}\)
oczywiście można było do zera nie przyrównywać, tylko cały czas jedną stronę przekształcać, wyciągając na początku przed nawias \(\displaystyle{ x^2}\)
rozważmy równanie
\(\displaystyle{ x^4-3x^3-2x^2-3x+1=0}\)
widzimy że zero nie jest pierwiastkiem , dzielimy stronami przez \(\displaystyle{ x^2}\)
\(\displaystyle{ x^2-3x-2- \frac{3}{x}+ \frac{1}{x^2}=0}\)
\(\displaystyle{ \left( x^2+ \frac{1}{x^2} \right) -3\left( x+ \frac{1}{x} \right) -2=0}\)
zauważmy że \(\displaystyle{ \left( x^2+ \frac{1}{x^2} \right)=\left( x+ \frac{1}{x} \right)^2-2}\)
dostajemy dalej:
\(\displaystyle{ \left( x+ \frac{1}{x} \right) ^2-3\left( x+ \frac{1}{x}\right) -4=0}\)
\(\displaystyle{ \left[ \left( x+ \frac{1}{x} \right)+1 \right] \left[ \left( x+ \frac{1}{x} \right) -4\right]=0}\)
teraz możemy pomnożyć stronami przez \(\displaystyle{ x^2}\) i mamy rozkład:
\(\displaystyle{ (x^2+x+1)(x^2-4x+1)=0}\)
oczywiście można było do zera nie przyrównywać, tylko cały czas jedną stronę przekształcać, wyciągając na początku przed nawias \(\displaystyle{ x^2}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Rozkładanie wielomianu i inne
To jedna z opcji - a zawsze biorę ,,najprzyjemniejszą"mariuszm pisze:piasek101, skąd wiesz że wyrazy wolne tych trójmnianów są jedynkami
Jaką ,,ciężką" , lżejsza od Twojej i częściej działa.Psiaczek pisze:Pogadali, wytoczyli ciężką artylerię,
- fcbarcelonacule
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 5 gru 2011, o 14:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraśnik