Rozkładanie wielomianu i inne

[fcbarcelonacule]

Proszę o pomoc w następującym zadaniu. Rozłóż wielomian na czynniki, W(x)=\(\displaystyle{ x ^{4}}\)\(\displaystyle{ -3x^3}\)\(\displaystyle{ -2x^2}\)-3x+1-- 5 gru 2011, o 15:07 --Żadna z poznanych przeze mnie metod nie nadaje się do tego przykładu. Wie ktoś jak rozłożyć ten nieziemsko trudny wielomian

[kamil13151]

Poczytaj o równaniu zwrotnym lub metodzie Ferrariego.

[piasek101]

,,Symetryczny" jest, pójdzie moją metodą :

\(\displaystyle{ W(x)=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)}\) porównać obie postacie , wyznaczyć (a) i (b).

[Mariusz M]

piasek101, skąd wiesz że wyrazy wolne tych trójmnianów są jedynkami

Skoro piasek już pisał o wielomianach symetrycznych to da się to rozwiązać w ten sposób

Definiujesz sobie wielomian

\(\displaystyle{ F=\left( t-\left( x_{1}+x_{2}\right) \right)\left( t-\left( x_{1}+x_{3}\right) \right)\left( t-\left( x_{1}+x_{4}\right) \right)\left( t-\left( x_{3}+x_{4}\right) \right)\left( t-\left( x_{2}+x_{4}\right) \right)\left( t-\left( x_{2}+x_{3}\right) \right)\\
=\left( t^{2}-p_{1}t+\left( x_{1}+x_{2}\right)\left( x_{3}+x_{4}\right)\right)\left( t^{2}-p_{1}t+\left( x_{1}+x_{3}\right)\left( x_{2}+x_{4}\right)\right)\left( t^{2}-p_{1}t+\left( x_{1}+x_{4}\right)\left( x_{2}+x_{3}\right)\right)}\)

Definiujesz sobie jeden z dwóch wielomianów

\(\displaystyle{ U=\left( u-\left( x_{1}+x_{2}\right)\left( x_{3}+x_{4}\right)\right)\left( u-\left( x_{1}+x_{3}\right)\left( x_{2}+x_{4}\right)\right) \left( u-\left( x_{1}+x_{4}\right)\left( x_{2}+x_{3}\right)\right)\\
V=\left( v-\left( x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}\right) \right)\left( v-\left( x_{1}x_{3}+x_{2}x_{4}\right) \right)\left( v-\left( x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}\right) \right)}\)

Współczynniki wszystkich trzech wielomianów są wielomianami symetrycznymi
i mogą być przedstawione za pomocą wielomianów symetrycznych podstawowych
a także stosując wzory Viete za pomocą współczynników równania czwartego stopnia

Aby obliczyć pierwiastki tego pierwszego wielomianu (szóstego stopnia) potrzebne jest jednak
jedno extra podstawienie więc jak kto woli to może wybrać sobie jeden z dwóch
podanych wielomianów trzeciego stopnia , wyrazić jego współczynniki przy pomocy
wielomianów symetrycznych podstawowych a następnie korzystając ze wzorów Viete
za pomocą współczynników wielomianu czwartego stopnia

Mając pierwiastki wybranego wielomianu trzeciego stopnia możemy znaleźć pierwiastki wielomianu
szóstego stopnia rozwiązując trzy równania kwadratowe

Po znalezieniu pierwiastków wielomianu szóstego stopnia
wybieramy trzy pierwiastki i sumujemy je (powinien nam się pojawić wielomian symetryczny pierwszego stopnia)

[Psiaczek]

Pogadali, wytoczyli ciężką artylerię, a wielomianu mu nie rozłożyli

rozważmy równanie

\(\displaystyle{ x^4-3x^3-2x^2-3x+1=0}\)

widzimy że zero nie jest pierwiastkiem , dzielimy stronami przez \(\displaystyle{ x^2}\)

\(\displaystyle{ x^2-3x-2- \frac{3}{x}+ \frac{1}{x^2}=0}\)

\(\displaystyle{ \left( x^2+ \frac{1}{x^2} \right) -3\left( x+ \frac{1}{x} \right) -2=0}\)

zauważmy że \(\displaystyle{ \left( x^2+ \frac{1}{x^2} \right)=\left( x+ \frac{1}{x} \right)^2-2}\)

dostajemy dalej:

\(\displaystyle{ \left( x+ \frac{1}{x} \right) ^2-3\left( x+ \frac{1}{x}\right) -4=0}\)

\(\displaystyle{ \left[ \left( x+ \frac{1}{x} \right)+1 \right] \left[ \left( x+ \frac{1}{x} \right) -4\right]=0}\)

teraz możemy pomnożyć stronami przez \(\displaystyle{ x^2}\) i mamy rozkład:

\(\displaystyle{ (x^2+x+1)(x^2-4x+1)=0}\)

oczywiście można było do zera nie przyrównywać, tylko cały czas jedną stronę przekształcać, wyciągając na początku przed nawias \(\displaystyle{ x^2}\)

[piasek101]

piasek101, skąd wiesz że wyrazy wolne tych trójmnianów są jedynkami

To jedna z opcji - a zawsze biorę ,,najprzyjemniejszą"

Pogadali, wytoczyli ciężką artylerię,

Jaką ,,ciężką" , lżejsza od Twojej i częściej działa.

[fcbarcelonacule]

Dzięki wszystkim za chęci i czas. JUŻ CZAJĘ!