Równanie dwukwadratowe + ciąg arytmetyczny

ghagha · Post autor: **ghagha** » 29 sty 2007, o 20:10

Znajdź liczbę a w zależności od b tak, aby równanie \(\displaystyle{ x^{4} + ax^{2} + b = 0}\) miało 4 pierwiastki tworzące ciąg arytmetyczny.

Dzięki

Lady Tilly · Post autor: **Lady Tilly** » 29 sty 2007, o 20:31

Równanie będzie miało postać:
\(\displaystyle{ (x-a_{1})(x-a_{2})(x-a_{3})(x-a_{4})=0}\) przyrównaj odpowiednie składowe tego równania z odpowiednimi składowymi Twojego równania. Dodam jescze, że współczynnik b będzie iloczynem tych pierwiastków.

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 29 sty 2007, o 20:50

tz. że trzeba wymnożyć nawiasy i z twierdzenia o równości wielomianów?

Lady Tilly pisze:Dodam jescze, że współczynnik b będzie iloczynem tych pierwiastków.

a to skąd wiemy ?

PFloyd · Post autor: **PFloyd** » 29 sty 2007, o 20:57

bo po rozpisaniu tej postaci iloczynowej, wyrazem wolnym bedzie iloczyn pierwiastków

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 29 sty 2007, o 21:05

jak wymnażam te nawiasy do dosyć długi wielomian wychodzi nie da się jakoś szybciej sprawdzić co za współczynnik jest przez \(\displaystyle{ x^2}\)?

ghagha · Post autor: **ghagha** » 29 sty 2007, o 21:10

mat1989 pisze:jak wymnażam te nawiasy do dosyć długi wielomian wychodzi nie da się jakoś szybciej sprawdzić co za współczynnik jest przez \(\displaystyle{ x^2}\)?

no właśnie to samo. To może być przydatne, przepraszam jeśli nie można podawać linków, ale nie będę przepisywał tyle zależności

... kwadratowe

może to komuś pomoże?

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 29 sty 2007, o 21:26

max, może troszkę jaśniej, jakbyś mógł
bo też właśnie myślałem nad wzorkami Vieta.
a oto one, jakby ktoś potrzebował:
\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+x_4=-\frac{b}{a}\\x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=\frac{c}{a}\\x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-\frac{d}{a}\\x_1x_2x_3x_4=\frac{e}{a}}\)

max · Post autor: **max** » 29 sty 2007, o 21:29

hmm, z tych wzorów można szybiej pozyskać współczynniki w zależności od rozwiązań niż wymnażając nawiasy...

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 29 sty 2007, o 21:33

ale w takim razie nam jest potrzebne 'c', więc trzeba skorzystać z 3, tylko go pomnożyć obustronnie przez a, które akurat jest równe 1.
taka mała kolizja oznaczeń...