Interpolacja Lagrange’a

[kamil13151]

Spróbowałem zrobić poniższe zadanie z interpolacji Lagrange’a, lecz coś mi nie wychodzi, czy mój sposób jest poprawny?

Wielomian \(\displaystyle{ W}\) ma postać \(\displaystyle{ W(x)=x^5+a_4x^4 +a_3x^3+a_2x^2+a_1x}\), gdzie \(\displaystyle{ a_4,a_3,a_2,a_1}\) są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Wiedząc dodatkowo, że \(\displaystyle{ W(2)=2, \ W(4)=4, \ W(6)=6, \ W(8)=8}\), oblicz \(\displaystyle{ W(10)}\) (bez wyznaczania współczynników \(\displaystyle{ a_4,a_3,a_2,a_1}\)).

Teraz zauważyłem, że \(\displaystyle{ W(0)=0}\) i pozostało do rozwiązania równanie:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{4} y_{i} \frac{ \prod_{j=0 \\ j \neq i}^{4}(0-x_{j}) }{\prod_{j=0 \\ j \neq i}^{4}(x_{i}-x_{j}) }=0}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_0=2 \Rightarrow f_0=2 \\ x_1=4 \Rightarrow f_1=4 \\ x_2=6 \Rightarrow f_2=6 \\ x_3=8 \Rightarrow f_3=8 \\ x_4=10 \Rightarrow f_4=t \end{cases}}\)
Lecz wychodzi mi \(\displaystyle{ t=10}\), a to nie jest poprawna odpowiedź...

[Psiaczek]

Kamil13151 na wielomianach interpolacyjnych to się zna szw1710 , ja ci mogę inny sposób podać:

Rozważmy wielomian pomocniczy \(\displaystyle{ P(x)=W(x)-x}\)

widzimy że \(\displaystyle{ P(x)}\) ma jeden przy piątej potędze oraz

\(\displaystyle{ P(0)=P(2)=P(4)=P(6)=P(8)=0}\)

zatem\(\displaystyle{ P(x)=x(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)}\)

\(\displaystyle{ P(10)=10 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2=3840}\)

stąd \(\displaystyle{ W(10)=3840+10=3850}\)

[kamil13151]

Psiaczek, znam ten sposób

Widzę już na pewno swój błąd, muszę mieć \(\displaystyle{ n+1}\) węzłów niż stopień wielomianu, hmm.. a może tak:

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{5} y_{i} \frac{ \prod_{j=0 \\ j \neq i}^{5}(2-x_{j}) }{\prod_{j=0 \\ j \neq i}^{5}(x_{i}-x_{j}) }=2}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_0=2 \Rightarrow f_0=2 \\ x_1=4 \Rightarrow f_1=4 \\ x_2=6 \Rightarrow f_2=6 \\ x_3=8 \Rightarrow f_3=8 \\ x_4=0 \Rightarrow f_4=0 \\ x_5=10 \Rightarrow f_5=t \end{cases}}\)

Coś mi się wydaje, że nie zadziała?

[edit]
Nie zadziała, hmm... da się to zrobić przy pomocy interpolacji?

[szw1710]

Rozważ wielomian \(\displaystyle{ q(x)=\frac{w(x)-x^5}{x}}\). Jes to wielomian stopnia 3 i masz jego wartości w 4 punktach, więc jest w pełni określony. Znajdź ze wzoru Lagrange'a lub Newtona jego postać. Tym niemniej wzory interpolacyjne dadzą te współczynniki. Więc nie o takie rozwiązanie chodzi.

Ale rozwiązanie Psiaczka jest tym, o które chodziło. Właśnie, jak pisałeś: bez wyznaczania współczynników. Najprostsze i najlepsze.