Wskaż wartości parametrów tak, aby wielomian był podzielny

[miszczo997]

Witam
Mam zadanie
Wskaż dla jakich wartości parametrów k,m,n wielomian określony wzorem
\(\displaystyle{ W(x)= x^{3}+k x^{2}+mx +n}\)
jest podzielny przez każdy z dwumianów
\(\displaystyle{ x-1,x-2,x+3}\)

Chciałem się dowiedzieć czy dobrze kombinuję
Najpierw wyznaczyłem miejsca zerowe z dwumianów tj 1,2,-3
Następnie podstawiłem w ten sposób do wielomianu
\(\displaystyle{ W(1)= 1^{3}+k 1^{2}+m1 +n}\)
\(\displaystyle{ w(1)=0}\)
I tak trzy razy i mam 3 układy równań z 3 niewiadomymi.

[agulka1987]

bardzo dobrze

[miszczo997]

Policzyłem i wyszło k=0,m=(-7),n=(-8)
\(\displaystyle{ W(x)= x^{3}-7x-8}\)
Czy może być takie rozwiązanie?

Mam też kolejne zadanie za które nie wiem jak się zabrać
Podziel wielomian
\(\displaystyle{ x^{3}- x^{2}+ax+b}\)
Przez
\(\displaystyle{ x_{2}+2x+5}\)

Czy tutaj muszę wyznaczyć współczynniki a i b tak, aby jeden wielomian był podzielny przez drugi i podać wynik? Jak tak to ile będzie takich możliwości?

[anna_]

Policzyłem i wyszło k=0,m=(-7),n=(-8)
\(\displaystyle{ W(x)= x^{3}-7x-8}\)
Czy może być takie rozwiązanie?

Licz jeszcze raz. (Sprawdziłam tylko \(\displaystyle{ 1}\) - nie jest pierwiastkiem

Do tego drugiego popdaj dokładną treść.-- dzisiaj, o 18:53 --Według mnie szybciej byłoby liczyć z:
\(\displaystyle{ W(x)= x^{3}+k x^{2}+mx +n}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(x-2)(x+3)=}\)
i porównać współczynniki

[miszczo997]

Policzyłem porównałem i wyszło.
Jeszcze jedna rzecz z którą nie mogę sobie poradzić.
Jak zwinąć taki wielomian
\(\displaystyle{ W(x)=x^{4}-6x ^{3}+12x ^{2}-8x}\)
Wolfram alpha wyrzuca
\(\displaystyle{ W(x)=x(x-2) ^{3}}\)

Gdyby ktoś mógł mi to rozpisać krok po kroku jak przejść z pierwszej postaci do drugiej, byłbym bardzo wdzięczny i może w końcu bym to zrozumiał.

[anna_]

Najpierw \(\displaystyle{ x}\) przed nawias, a potem "zauważasz", że do tego co zostało w nawiasie można zastosować wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy.

lub
\(\displaystyle{ W(x)=x^{4}-6x ^{3}+12x ^{2}-8x=x(x^3-6x ^2+12 x-8)=}\) i \(\displaystyle{ 2}\) jest pierwiastkiem wielomianu w nawiasie, czyli

\(\displaystyle{ =x(x-2)(x^2-4x+4)=x(x-2)(x-2)^2=x(x-2)^3}\)