Dla jakich wartości parametru a pierwiastki ....

[Rockman2309]

Witam,
Mam problem z zadaniem zadanym jako praca domowa. Nie wiem jak to zadanie rozwiązać. Proszę o pomoc i rozwiązanie poniższego zadania. Jest ono z czerwonoczarnego zbioru Kłaczkowa dla drugiej klasy liceum i ma numer 3.93.


Dla jakich wartości parametru a pierwiastki x1, x2, x3 równania \(\displaystyle{ x^{3} - 9x ^{2} +\left( a-5\right) x - 15 =0}\)
spełniają warunki: x2 = x1 + r i x3 = x2 + r? Wyznacz rozwiązania tego równania.

Z góry dziękuję, pozdrawiam

[kropka+]

Zauważ, że pierwiastki wymierne tego wielomianu będą podzielnikami wyrazu wolnego. Podzielniki 15 to: \(\displaystyle{ -15,-5,-3,-1,1,3,5,15}\). Które trójki liczb pasują do podanych warunków?

[Psiaczek]

Ja proponuję tak:
Oznaczmy pierwiastki \(\displaystyle{ x _{2}-r,x _{2},x _{2} +r}\)

wtedy ich suma wynosi \(\displaystyle{ 3x _{2}}\),lecz jednocześnie ze wzorów Viete'a dla równania trzeciego stopnia wynosi ona \(\displaystyle{ 9}\) . Stąd \(\displaystyle{ x _{2} =3}\) . Reszta z dzielenia wyjściowego wielomianu przez \(\displaystyle{ (x-3)}\) musi być więcrówna zero. Ta reszta wynosi \(\displaystyle{ 3a-84}\) stąd otrzymujemy \(\displaystyle{ a=28}\) i rozkład

\(\displaystyle{ x^3-9x^2+23x-15=(x-3)(x^2-6x+5)=(x-3)(x-1)(x-5)}\)

[Rockman2309]

Problem w tym, że jeszcze nie korzystaliśmy ze wzorów Viete'a III stopnia. Trzeba to rozwiązać w jakiś inny sposób

[kropka+]

Tak myślałam i dlatego zaproponowałam inny sposób - czytałeś mojego posta?