Rozwiąż nierówność

[jojo15]

Jak należy rozwiązać taką nierówność:
\(\displaystyle{ \sqrt{x-3} <x ^{2}-7}\)
Jestem w punkcie \(\displaystyle{ -x ^{4} +14x ^{2} +x-51<0}\)
I co dalej?

[kamil13151]

Dla \(\displaystyle{ x^2-7 \le 0}\) nierówność jest sprzeczna, rozwiązujemy dla \(\displaystyle{ x^2-7>0}\) i podnosimy do kwadratu (źle to zrobiłeś).

[lukasz1804]

Po pierwsze nierówność ma sens dla \(\displaystyle{ x\ge 3}\). Wówczas obie strony są nieujemne i podnosząc je do kwadratu dostajemy równoważnie \(\displaystyle{ x^4-14x^2-x+52>0}\) (sprawdź swoje obliczenia). Spróbuj rozłożyć wielomian po lewej stronie na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych metodą współczynników nieoznaczonych.

[anna_]

Wystarczy rozwiązć:
Lewa strona \(\displaystyle{ x-3 \ge 0}\) prawa strona \(\displaystyle{ x^2-7 \ge 0}\)


\(\displaystyle{ x \ge 3}\)

[Psiaczek]

Ja proponuję tak:

oznaczmy \(\displaystyle{ f(x)=x^4-14x^2-x+52}\)

niech \(\displaystyle{ y \ge 0}\) zauważmy że

\(\displaystyle{ f(3+y)=y^4+12y^3+40y^2+23y+4}\)

a więc wszystkie współczynniki dodatnie, więc dla \(\displaystyle{ x \ge 3}\) wartości wielomianu jako większe od czterech tym bardziej są większe od zera.

[jojo15]

Bardzo dziękuję za wszystkie odpowiedzi.

[kamil13151]

a więc wszystkie współczynniki dodatnie, więc dla \(\displaystyle{ x \ge 3}\) wartości wielomianu jako większe od czterech tym bardziej są większe od zera.

Raczej większe od trzech. Sposób ciekawy